Cho hai số thực dương (x,,,y) thỏa mãn (x + y = 1). Giá trị nhỏ nhất của (S = dfrac{1}{x} + dfrac{4}{y}) là

Ta có:

(begin{array}{l}S = dfrac{1}{x} + dfrac{4}{y} = 1.left( {dfrac{1}{x} + dfrac{4}{y}} right)\ = left( {x + y} right).left( {dfrac{1}{x} + dfrac{4}{y}} right)\ = 1 + dfrac{{4x}}{y} + dfrac{y}{x} + 4 = 5 + dfrac{{4x}}{y} + dfrac{y}{x}end{array})

Vì (x,,,y) là hai số thực dương nên (dfrac{{4x}}{y},,,dfrac{y}{x})dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số (dfrac{{4x}}{y}) và (dfrac{y}{x}) ta được:

(begin{array}{l}dfrac{{4x}}{y} + dfrac{y}{x} ge 2.sqrt {dfrac{{4x}}{y}.dfrac{y}{x}} \ Leftrightarrow dfrac{{4x}}{y} + dfrac{y}{x} ge 4\ Leftrightarrow 5 + dfrac{{4x}}{y} + dfrac{y}{x} ge 9\ Leftrightarrow S ge 9end{array})

Dấu “( = )” xảy ra khi và chỉ khi (left{ begin{array}{l}dfrac{{4x}}{y} = dfrac{y}{x}\x + y = 1end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\x + y = 1end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x = y\x + y = 1end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = dfrac{1}{3}\y = dfrac{2}{3}end{array} right.)

Vậy (min S = 9)( Leftrightarrow x = dfrac{1}{3};,y = dfrac{2}{3}).

Chọn B.