Tổng hợp lý thuyết bài toán tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách toán lớp 12


Bài toán Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.

þ Tìm 2 điểm đối xứng:

Gọi $Aleft( a;fleft( a right) right)$ và $Bleft( b;fleft( b right) right)$ $left( ane b right)$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$.

§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua $Ileft( alpha ;beta  right)Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=2alpha   \   fleft( a right)+fleft( b right)=2beta   \end{array} right..$

§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua trục tung $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \   fleft( a right)=fleft( b right)  \end{array} right..$

þ Tìm 2 điểm $A,B$thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài $AB$ ngắn nhất

Bài toán: Cho hàm số $y=frac{ax+b}{cx+d}left( C right)$. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $left( C right)$ sao cho $A{{B}_{min }}$.

Cách giải: Ta phân tích: $y=frac{a}{c}+frac{k}{cx+d}$ trong đó $y=frac{-d}{c}$ là tiệm cận đứng của (C)

Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-frac{d}{c}0 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=frac{a}{c}-frac{k}{c.alpha }  \   {{y}_{2}}=frac{a}{c}+frac{k}{c.alpha }  \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$

$={{left( alpha +beta  right)}^{2}}+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}{{left( frac{1}{alpha }+frac{1}{beta } right)}^{2}}={{left( alpha +beta  right)}^{2}}left( 1+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta  right)}^{2}}} right)$

Do ${{left( alpha +beta  right)}^{2}}ge 4alpha beta $ và $1+frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta  right)}^{2}}}ge 2sqrt{frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.frac{1}{{{left( alpha .beta  right)}^{2}}}}=2frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha .beta }$

Do đó $A{{B}^{2}}ge 4alpha .beta .2frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha .beta }=frac{8left| k right|}{c}$. Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   alpha =beta   \   frac{left| k right|}{c}.frac{1}{alpha beta }=1  \end{array} right.$

Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+3,,left( C right)$.

a) Tìm 2 điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O.$

b) Tìm tọa độ 2 điểm A và B đối xứng nhau qua trục $Oy.$

Lời giải chi tiết

a) Gọi $Aleft( a;b right)$ và $Bleft( -a;-b right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $Oleft( 0;0 right)$.

Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $left( C right)$ nên ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   -b={{left( -a right)}^{3}}-3{{left( -a right)}^{2}}-4left( -a right)+3  \end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   -b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   0=-6{{a}^{2}}+6  \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}}   a=1;b=-3  \   a=-1;b=3  \end{array} right.$

Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $Aleft( 1;-3 right):Bleft( -1;3 right)$ hoặc ngược lại.

b) Gọi $Aleft( a;b right)$ và $Bleft( -a;b right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua trục $Oy$.

Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $left( C right)$ nên ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   b={{left( -a right)}^{3}}-3{{left( -a right)}^{2}}-4left( -a right)+3  \end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \   0=2{{a}^{3}}-8a  \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}}   a=b=0Rightarrow Aequiv B,,left( loai right)  \   a=2;b=-9  \   a=-2;b=-9  \end{array} right.$

Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $Aleft( 2;-9 right);Bleft( -2;-9 right)$ hoặc ngược lại.

Bài tập 2: Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm $A,B$ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số $y=frac{x-3}{2x-2}$ sao cho $AB$ ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=frac{x-3}{2x-2}=frac{frac{1}{2}left( 2x-2 right)-2}{2x-2}=frac{1}{2}-frac{1}{x-1}$

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1.$

Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<10 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=frac{1}{2}+frac{1}{a}  \   {{y}_{2}}=frac{1}{2}+frac{1}{b}  \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$

$={{left( a+b right)}^{2}}+{{left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right)}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}left( 1+frac{1}{{{left( ab right)}^{2}}} right).$

Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{left( a+b right)}^{2}}ge 4ab  \   1+frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}ge 2sqrt{frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=frac{2}{ab}  \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}ge 4ab.frac{2}{ab}=8Rightarrow ABge 2sqrt{2}.$

Dấu $”=”$ xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=b  \   frac{1}{ab}=1  \end{array} right.Leftrightarrow a=b=1Rightarrow Aleft( 0;frac{3}{2} right),Bleft( 2;-frac{1}{2} right).$

Bài tập 3: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{3}}+3x+2$ hai điểm mà chúng đối xứng nhau qua tâm $Ileft( -1;3 right)$.

A. $left( 0;2 right)$ và $left( -2;4 right).$  B. $left( -1;0 right)$ và $left( -1;6 right).$  C. $left( 1;4 right)$ và $left( -3;2 right).$               D. Không tồn tại.

Lời giải chi tiết

Gọi $Aleft( a;-{{a}^{3}}+3a+2 right);Bleft( b;-{{b}^{3}}+3b+2 right),,left( ane b right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm $Ileft( -1;3 right)$.

Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=2{{x}_{1}}=-2  \   -{{a}^{3}}+3a+2-{{b}^{3}}+3b+2=2{{y}_{1}}=6  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \   -left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} right)+3left( a+b right)=2  \end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \   {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=-8  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \   {{left( a+b right)}^{3}}-3ableft( a+b right)=-8  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \   ab=0  \end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{*{35}{l}}   a=0;b=-2  \   a=-2;b=0  \end{array} right.$

Vậy $left( 0;2 right)$ và $left( -2;4 right)$ là cặp điểm cần tìm. Chọn A.

Bài tập 4: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}+3x-frac{11}{3}$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng nhau qua trục tung.

A. $left( 3;-frac{16}{3} right)$ hoặc $left( -3;-frac{16}{3} right).$  B. $left( 3;frac{16}{3} right)$ hoặc $left( -3;frac{16}{3} right).$

C. $left( frac{16}{3};3 right)$ hoặc $left( -frac{16}{3};3 right).$  D. Không tồn tại.

Lời giải chi tiết

Gọi $Aleft( a;frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3} right)$ và $Bleft( b;frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-frac{11}{3} right),,left( ane b right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối xứng nhau qua trục tung.

Khi đó: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \   frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3}=frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-frac{11}{3}  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \   frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-frac{11}{3}=frac{{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}-3a-frac{11}{3}  \end{array} right.$

$Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \   frac{-2{{a}^{3}}}{3}-6a=0  \end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \   left[ begin{array}{*{35}{l}}   a=0  \   a=pm 3  \end{array} right.  \end{array} right.$

Với $a=0Rightarrow b=0Rightarrow Aequiv B$ (loại).

Với $a=pm 3Rightarrow b=mp 3Rightarrow Aleft( 3;frac{16}{3} right);Bleft( -3;frac{16}{3} right)$. Chọn B.

Bài tập 5: Tìm trên đồ thị hàm số $y=-{{x}^{2}}+4x+2$ hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với nhau qua trục tung.

A. Không tồn tại.  B. $Aleft( 2;2 right)$ và $Bleft( -2;2 right)$.

C. $Aleft( -1;-1 right)$ và $Bleft( 1;-1 right).$  D. $Aleft( 3;-13 right)$ và $Bleft( -3;-13 right).$

Lời giải chi tiết

Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là $left{ begin{array}{*{35}{l}}   Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right)  \   Bleft( {{x}_{B}};{{y}_{B}} right)  \end{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{A}}=-{{x}_{B}}  \   {{y}_{A}}={{y}_{B}}  \end{array} right.Rightarrow {{x}_{A}}ne 0.$

Khi đó ta có $-x_{A}^{2}+4{{x}_{A}}+2=-{{left( -{{x}_{A}} right)}^{2}}+4left( -{{x}_{A}} right)+2Leftrightarrow 4{{x}_{A}}=-4{{x}_{A}}Leftrightarrow {{x}_{A}}=0left( L right).$

Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Bài tập 6: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị $left( C right):y=frac{3x+6}{x+1}$ các điểm $A,B$ để độ dài $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:

A. $2sqrt{5}.$  B. $2sqrt{2}.$  C. $2sqrt{6}.$  D. $3sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=frac{3x+6}{x+1}=frac{3left( x+1 right)+3}{x+1}=3+frac{3}{x+1}$

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1.$

Gọi $Aleft( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),Bleft( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $left( C right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-10 right)Rightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=3-frac{3}{a}  \   {{y}_{2}}=3+frac{3}{b}  \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}={{left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right)}^{2}}+{{left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} right)}^{2}}$

$={{left( a+b right)}^{2}}+9{{left( frac{1}{a}+frac{1}{b} right)}^{2}}={{left( a+b right)}^{2}}left( 1+frac{9}{{{left( ab right)}^{2}}} right)$.

Ta có: $left{ begin{array}{*{35}{l}}   {{left( a+b right)}^{2}}ge 4ab  \   1+frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}ge 2sqrt{frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=frac{6}{ab}  \end{array} right.Rightarrow A{{B}^{2}}ge 4ab.frac{6}{ab}=24Rightarrow ABge 2sqrt{6}.$

Dấu bằng xảy ra $Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}   a=b  \   frac{9}{ab}=1  \end{array} right.Leftrightarrow a=b=3$. Chọn C.





Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ