Cho (a > 0,,,b > 0) và ({a^2} + {b^2} = 1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:(S = ab + 2left( {a + b} right))

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương (a > 0,,,b > 0) ta được:

({a^2} + {b^2} ge 2ab Leftrightarrow 1 ge 2ab Leftrightarrow ab le frac{1}{2};;;left( 1 right))    

Ta có: ({a^2} + {b^2} = 1 Leftrightarrow {left( {a + b} right)^2} – 2ab = 1 Leftrightarrow {left( {a + b} right)^2} = 1 + 2ab)

( Leftrightarrow {left( {a + b} right)^2} le 1 + 1 = 2 Leftrightarrow a + b le sqrt 2 ;;;left( 2 right))     

Từ (1), (2) ta có: (S = ab + 2left( {a + b} right) le frac{1}{2} + 2sqrt 2 )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: (left{ begin{array}{l}a = b\{a^2} + {b^2} = 1end{array} right. Leftrightarrow a = b = frac{{sqrt 2 }}{2})

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S  là (frac{1}{2} + 2sqrt 2 )  đạt tại (a = b = frac{{sqrt 2 }}{2}).

Chọn A.