Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án – cách giải
Một số bt trắc nghiệm dạng bài biểu diễn biểu thức logarit theo biểu thức cho trước
| Ví dụ 1: Với các số thực dương x,y tùy ý, đặt ${{log }_{2}}x=alpha ,{{log }_{2}}y=beta $ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{log }_{16}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}=frac{3}{2}alpha -2beta $ B.${{log }_{16}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}=24alpha -32beta $ C.${{log }_{16}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}=frac{2}{3}alpha -2beta $ D. ${{log }_{16}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}=frac{2}{3}alpha +2beta $ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{16}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}={{log }_{{{2}^{4}}}}{{left( frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{4}}={{log }_{2}}frac{sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}={{log }_{2}}sqrt{{{x}^{3}}}-{{log }_{2}}{{y}^{2}}=frac{3}{2}{{log }_{2}}x-2{{log }_{2}}y$
= $frac{3}{2}alpha -2beta $.Chọn A
| Ví dụ 2: Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt ${{log }_{2}}x=alpha ,{{log }_{2}}y=beta $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{log }_{sqrt{2}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}=1+frac{3}{2}alpha -2beta $ B. ${{log }_{sqrt{2}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}=4+6alpha +8beta $ C. ${{log }_{sqrt{2}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}=1+frac{3}{2}alpha +2beta $ D. ${{log }_{sqrt{2}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}=4+6alpha -8beta $ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{sqrt{2}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}={{log }_{{{2}^{frac{1}{2}}}}}{{left( frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} right)}^{2}}=4{{log }_{2}}frac{2sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}=4.left( {{log }_{2}}2+{{log }_{2}}sqrt{{{x}^{3}}}-{{log }_{2}}{{y}^{2}} right)$
$=4left( 1+{{log }_{2}}{{x}^{frac{3}{2}}}-2{{log }_{2}}y right)=4left( 1+frac{3}{2}{{log }_{2}}x-2{{log }_{2}}y right)=4+6{{log }_{2}}x-8{{log }_{2}}y=4+6alpha -8beta $. Chọn D
| Ví dụ 3: Cho ${{log }_{b}}a=x;{{log }_{b}}c=y$. Hãy biểu diễn ${{log }_{{{a}^{2}}}}left( sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} right)$ theo x và y
A. $frac{5+4y}{6x}$ B. $frac{20y}{3x}$ C. $frac{5+3{{y}^{4}}}{3{{x}^{2}}}$ D. $2x+frac{20y}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{log }_{{{a}^{2}}}}left( sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} right)=frac{1}{2}{{log }_{a}}{{left( {{b}^{5}}{{c}^{4}} right)}^{frac{1}{3}}}=frac{1}{2}{{log }_{a}}left( {{b}^{frac{5}{3}}}{{c}^{frac{4}{3}}} right)=frac{1}{2}{{log }_{a}}{{b}^{frac{5}{3}}}+frac{1}{2}{{log }_{a}}{{c}^{frac{4}{3}}}=frac{5}{6}{{log }_{a}}b+frac{4}{6}{{log }_{a}}c$
$=frac{5}{6}.frac{1}{{{log }_{b}}a}+frac{4}{6}frac{{{log }_{b}}c}{{{log }_{b}}a}=frac{5}{6x}+frac{4y}{6x}=frac{5+4y}{6x}$. Chọn A
| Ví dụ 4: Cho ${{log }_{a}}x=m;{{log }_{b}}x=n;{{log }_{c}}x=p$. Hãy biểu diễn ${{log }_{frac{ab}{c}}}x$ theo m, n, p
A. $frac{mnp}{mn+mp-np}$ B. $frac{mnp}{np+mp-mn}$ C. $frac{1}{m+n-p}$ D. $frac{mnp}{m+n-p}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{frac{ab}{c}}}x=frac{1}{{{log }_{x}}frac{ab}{c}}=frac{1}{{{log }_{x}}a+{{log }_{x}}b-{{log }_{x}}c}=frac{1}{frac{1}{{{log }_{a}}x}+frac{1}{{{log }_{b}}x}-frac{1}{{{log }_{c}}x}}$
$=frac{1}{frac{1}{m}+frac{1}{n}-frac{1}{p}}=frac{mnp}{np+mp-mn}$. Chọn B
| Ví dụ 5: Đặt ${{log }_{2}}7=a;{{log }_{3}}7=b$. Hãy tính ${{log }_{14}}12$ theo a,b
A. ${{log }_{14}}12=frac{a+2b}{ab+a}$ B. ${{log }_{14}}12=frac{a+2b}{ab+b}$ C. ${{log }_{14}}12=frac{2a+b}{ab+a}$ D. ${{log }_{14}}12=frac{2a+b}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{14}}12=frac{{{log }_{2}}12}{{{log }_{2}}14}=frac{{{log }_{2}}left( {{2}^{2}}.3 right)}{{{log }_{2}}left( 2.7 right)}=frac{2+{{log }_{2}}3}{1+{{log }_{2}}7}=frac{2+{{log }_{2}}7.{{log }_{7}}3}{1+a}=frac{2+frac{a}{b}}{a+1}=frac{a+2b}{ab+b}$
Cách 2 (Casio): Nhập ${{log }_{2}}7-SHIFT-STO-A$ ( mục đích gán ${{log }_{2}}7=A$)
Nhập ${{log }_{3}}7-SHIFT-STO-B$ (gán ${{log }_{3}}7=B$)
Lấy ${{log }_{14}}12-frac{A+2B}{AB+A};{{log }_{14}}12-frac{A+2B}{AB+B}…….$trong 4 kết quả kết quả nào cho đáp án bằng 0 thì đáp án đó là đáp án đúng. Chọn B
| Ví dụ 6: Cho ${{log }_{2}}3=a,{{log }_{2}}5=b$. Tính ${{log }_{6}}45$ theo a,b
A. ${{log }_{6}}45=frac{a+2b}{2left( 1+a right)}$ B. ${{log }_{6}}45=2a+b$ C. ${{log }_{6}}45=frac{2a+b}{1+a}$ D. ${{log }_{6}}45=a+b-1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{6}}45=frac{{{log }_{2}}45}{{{log }_{2}}6}=frac{{{log }_{2}}left( {{3}^{2}}.5 right)}{{{log }_{2}}left( 2.3 right)}=frac{2{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}5}{1+{{log }_{2}}3}=frac{2a+b}{1+a}$. Chọn C
| Ví dụ 7:Đặt $a={{log }_{3}}4,b={{log }_{5}}4$. Hãy biểu diễn ${{log }_{12}}80$ theo a, b
A. ${{log }_{12}}80=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ B. ${{log }_{12}}80=frac{a+2ab}{ab}$ C. ${{log }_{12}}80=frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{log }_{12}}80=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{12}}80=frac{{{log }_{4}}80}{{{log }_{4}}12}=frac{{{log }_{4}}16+{{log }_{4}}5}{{{log }_{4}}3+{{log }_{4}}4}=frac{2+frac{1}{b}}{frac{1}{a}+1}=frac{a+2ab}{ab+b}$. Chọn C
| Ví dụ 8: Đặt $a={{log }_{2}}3;b={{log }_{5}}2;c={{log }_{2}}7$. Hãy ${{log }_{42}}15$ biểu diễn theo a, b, c
A. ${{log }_{42}}15=frac{ab+1}{bleft( a+c+1 right)}$ B. ${{log }_{42}}15=frac{ac+1}{cleft( a+c+1 right)}$ C. ${{log }_{42}}15=frac{ac+1}{ab+b+c}$ D. ${{log }_{42}}15=frac{a+c}{a+b+bc}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{42}}15=frac{{{log }_{2}}15}{{{log }_{2}}42}=frac{{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}2+{{log }_{2}}3+{{log }_{2}}7}=frac{a+frac{1}{b}}{1+a+c}=frac{ab+1}{bleft( a+c+1 right)}$. Chọn A
| Ví dụ 9: Đặt $a={{log }_{2}}5;b={{log }_{3}}5$. Hãy biểu diễn $log 75$ theo a,b
A. $log 75=frac{a+2ab}{ab+b}$ B.$log 75=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ C. $log 75=frac{a+ab}{ab}$ D. $log 75=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $log 75=frac{{{log }_{2}}75}{{{log }_{2}}10}=frac{{{log }_{2}}left( {{5}^{2}}.3 right)}{{{log }_{2}}left( 2.5 right)}=frac{2{{log }_{2}}5+{{log }_{2}}3}{1+{{log }_{2}}5}=frac{2a+{{log }_{2}}5.{{log }_{5}}3}{1+a}$
$=frac{frac{a}{b}+2a}{1+a}=frac{a+2ab}{left( a+1 right)b}$.Chọn C
| Ví dụ 10: Đặt $a={{log }_{2}}3;b={{log }_{5}}3$. Hãy biểu diễn ${{log }_{6}}45$ theo a và b
A. ${{log }_{6}}45=frac{a+2ab}{ab}$ B. ${{log }_{6}}45=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$ C. ${{log }_{6}}45=frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{log }_{6}}45=frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{log }_{6}}45=frac{{{log }_{2}}45}{{{log }_{2}}6}=frac{{{log }_{2}}left( 5.9 right)}{{{log }_{2}}left( 2.3 right)}=frac{{{log }_{2}}5+{{log }_{2}}9}{1+{{log }_{2}}3}=frac{{{log }_{2}}3.{{log }_{3}}5+2{{log }_{2}}3}{1+a}$
$=frac{frac{a}{b}+2a}{1+a}=frac{a+2ab}{left( a+1 right)b}$. Chọn C
| Ví dụ 11: Biết ${{log }_{27}}5=a,{{log }_{8}}7=b,{{log }_{2}}3=c$ thì ${{log }_{12}}35$ tính theo a, b và c bằng
A. $frac{3b+2ac}{c+2}$ B. $frac{3(b+ac)}{c+2}$ C. $frac{3b+2ac}{c+1}$ D. $frac{3(b+ac)}{c+1}$ |
Lời giải chi tiết
${{log }_{12}}35=frac{{{log }_{2}}35}{{{log }_{2}}12}=frac{{{log }_{2}}7+{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}4+{{log }_{2}}3}=frac{3{{log }_{8}}7+{{log }_{2}}3.{{log }_{3}}5}{c+2}=frac{3b+3c.{{log }_{27}}15}{c+2}=frac{3left( ac+b right)}{c+2}$. Chọn B
| Ví dụ 12: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}left( a,b,cin mathbb{R} right)$.
Tính $P=log x+operatorname{logy}+logz$ theo a, b, c A. $P=3abc$ B. $P=a+2b+3c$ C. $P=6abc$ D. $P=frac{a+2b+3c}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}Rightarrow {{left( xyz right)}^{2}}={{10}^{a+2b+3c}}$
Suy ra $P=log x+log y+log z=log left( xyz right)=frac{1}{2}log {{left( xyz right)}^{2}}=frac{1}{2}log {{10}^{a+2b+3c}}=frac{a+2b+3c}{2}$. Chọn D