Bài tập phương trình mũ – phương pháp đưa về cùng cơ số có đáp án
Một số bài tập trắc nghiệm giải phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số
| Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}$ b) ${{left( 1,5 right)}^{5x-7}}={{left( frac{2}{3} right)}^{x+1}}$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ${{3}^{{{x}^{2}}-x+1}}={{3}^{2x-1}}Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=2x-1Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=2 \ end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=1;x=2$
b) Ta có: ${{left( 1,5 right)}^{5x-7}}={{left( frac{2}{3} right)}^{x+1}}Leftrightarrow {{left( frac{3}{2} right)}^{x+1}}={{left[ {{left( frac{3}{2} right)}^{-1}} right]}^{5x-7}}={{left( frac{3}{2} right)}^{-5x+7}}$
$Leftrightarrow x+1=-5x+7Leftrightarrow 6x=6Leftrightarrow x=1$
| Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ b) ${{left( sqrt{5}+2 right)}^{x-1}}={{left( sqrt{5}-2 right)}^{frac{x-1}{x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a)$PTLeftrightarrow {{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}+{{4.2}^{2}}={{5}^{x}}+2.frac{{{5}^{x}}}{5}Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=frac{7}{5}{{.5}^{x}}$
$Leftrightarrow frac{{{2}^{x}}}{{{5}^{x}}}=frac{1}{5}Leftrightarrow {{left( frac{2}{5} right)}^{x}}=frac{1}{5}Leftrightarrow x={{log }_{frac{2}{5}}}frac{1}{5}$
b) Do $left( sqrt{5}+2 right)left( sqrt{5}-2 right)=1Rightarrow left( sqrt{5}+2 right)={{left( sqrt{5}-2 right)}^{-1}}$
Do đó $PTLeftrightarrow {{left[ {{left( sqrt{5}-2 right)}^{-1}} right]}^{x-1}}={{left( sqrt{5}-2 right)}^{frac{x-1}{x+1}}}={{left( sqrt{5}-2 right)}^{1-x}}={{left( sqrt{5}-2 right)}^{frac{x-1}{x+1}}}$ (ĐK $xne -1$)
$Leftrightarrow 1-x=frac{x-1}{x+1}Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=x-1Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=1 \ {} x=-2 \ end{array} right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1;x=-2$.
| Bài tập 3: Giải các phương trình ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x-1}}Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{x}}.2+{{2}^{x}}{{.2}^{2}}={{5}^{x}}+{{2.5}^{x}}.frac{1}{5}$
$Leftrightarrow left( 1+2+4 right){{2}^{x}}=left( 1+frac{2}{5} right){{.5}^{x}}Leftrightarrow {{7.2}^{x}}=frac{7}{5}{{.5}^{x}}Leftrightarrow {{left( frac{5}{2} right)}^{x}}=5Leftrightarrow x={{log }_{frac{5}{2}}}5$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là $x={{log }_{frac{5}{2}}}5$.
| Bài tập 4: Giải các phương trình sau
a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=frac{1}{243}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=-3 \ end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là $x=2$ và $x=-3$.
b) ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=frac{1}{243}Leftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}={{3}^{-5}}Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=-1 \ {} x=5 \end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-1;x=5$
| Bài tập 5: Giải các phương trình sau
a)${{16}^{frac{x+10}{x-10}}}=0,{{125.8}^{frac{x+5}{x-15}}}$ b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} right)$ |
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: $left{ begin{array} {} x-10ne 0 \ {} x-15ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} xne 10 \ {} xne 15 \ end{array} right.$
Do $16={{2}^{4}};,0,125=frac{1}{8}={{2}^{-3}};,8={{2}^{3}}$ nên ta có $PTLeftrightarrow {{2}^{4.frac{x+10}{x-10}}}={{2}^{-3}}{{.2}^{3.frac{x+5}{x-15}}}Leftrightarrow 4.frac{x+10}{x-10}=-3+3.frac{x+5}{x-15}$
$Leftrightarrow frac{4left( x+10 right)}{x-10}=frac{60}{x-15}Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-5x-150 right)=15x-150to left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=20 \end{array} right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x=0;x=20$.
b) ${{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3}^{{{x}^{2}}+1}}=2left( {{5}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}-2}} right)Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-{{3.3}^{{{x}^{2}}}}=frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}-frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}-frac{2}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}={{3.3}^{{{x}^{2}}}}-frac{2}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}$
$Leftrightarrow frac{3}{5}{{5}^{{{x}^{2}}}}=frac{25}{9}{{3}^{{{x}^{2}}}}Leftrightarrow {{left( frac{5}{3} right)}^{{{x}^{2}}}}=frac{125}{27}Leftrightarrow {{left( frac{5}{3} right)}^{{{x}^{2}}}}={{left( frac{5}{3} right)}^{3}}to x=pm sqrt{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=pm sqrt{3}$.
| Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a) ${{left( frac{2}{3} right)}^{x}}.{{left( frac{9}{8} right)}^{x}}=frac{27}{64}$ b) ${{4.9}^{x-1}}=3sqrt{{{2}^{2x+1}}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{left( frac{2}{3} right)}^{x}}.{{left( frac{9}{8} right)}^{x}}=frac{27}{64}Leftrightarrow {{left( frac{2}{3}.frac{9}{8} right)}^{x}}={{left( frac{3}{4} right)}^{3}}Leftrightarrow {{left( frac{3}{4} right)}^{x}}={{left( frac{3}{4} right)}^{3}}to x=3$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=3$.
b) ${{4.9}^{x-1}}=3sqrt{{{2}^{2x+1}}}Leftrightarrow frac{{{4.9}^{x-1}}}{{{3.2}^{frac{2x+1}{2}}}}=1Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}{{.2}^{2-frac{2x+1}{2}}}=1Leftrightarrow {{3}^{2x-3}}.{{left( sqrt{2} right)}^{3-2x}}=1$
$Leftrightarrow {{left( frac{3}{sqrt{2}} right)}^{2x-3}}=1={{left( frac{3}{sqrt{2}} right)}^{0}}Leftrightarrow x=frac{3}{2}$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=frac{3}{2}$.
Cách khác: ${{4.9}^{x-1}}=3sqrt{{{2}^{2x+1}}}Leftrightarrow {{16.81}^{x-1}}={{9.2}^{2x+1}}Leftrightarrow 16.frac{{{81}^{x}}}{81}={{9.2.4}^{x}}Leftrightarrow {{left( frac{81}{4} right)}^{x}}=frac{18.81}{16}$
$Leftrightarrow {{left( frac{9}{2} right)}^{2x}}={{left( frac{9}{2} right)}^{3}}Leftrightarrow x=frac{3}{2}$.
| Bài tập 7: Giải các phương trình sau:
a) ${{left[ 2{{left( {{2}^{sqrt{x}+3}} right)}^{frac{1}{2sqrt{x}}}} right]}^{frac{2}{sqrt{x}-1}}}=4$ b) ${{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{left( sqrt{3}-sqrt{2} right)}^{6}}$ |
Lời giải chi tiết
a) ${{left[ 2{{left( {{2}^{sqrt{x}+3}} right)}^{frac{1}{2sqrt{x}}}} right]}^{frac{2}{sqrt{x}-1}}}=4$ , (1). Điều kiện: $left{ begin{array} {} x>0 \ {} xne 1 \ end{array} right.$
(1) $Leftrightarrow {{2}^{frac{3left( sqrt{x}+1 right)}{sqrt{x}left( sqrt{x}-1 right)}}}={{2}^{2}}Leftrightarrow frac{3left( sqrt{x}+1 right)}{sqrt{x}left( sqrt{x}-1 right)}=2Leftrightarrow 2x-5sqrt{x}-3=0Leftrightarrow sqrt{x}=3Leftrightarrow x=9$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=9$.
b) ${{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{left( sqrt{3}-sqrt{2} right)}^{6}}$, (2).
Do $left( sqrt{3}+sqrt{2} right)left( sqrt{3}-sqrt{2} right)=1to left( sqrt{3}-sqrt{2} right)=frac{1}{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}={{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}^{-1}}$
$left( 2 right)Leftrightarrow {{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}^{{{x}^{2}}-5x}}={{left( sqrt{3}+sqrt{2} right)}^{-6}}Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=2 \ {} x=3 \ end{array} right.$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=2$ và $x=3$.
| Bài tập 8: Số nghiệm của phương trình ${{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{16}^{x+1}}$ là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. |
Lời giải chi tiết
$PTLeftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{left( {{2}^{4}} right)}^{x+1}}Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+3x-2}}={{2}^{4x+4}}Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-2=4x+4$
$Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=3 \ {} x=2 \ end{array} right.$. Chọn C.
| Bài tập 9: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${{left( sqrt{2}-1 right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}=sqrt{2}+1$ là:
A. $T=5$. B. $T=1$. C. $T=10$. D. $T=13$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{left( sqrt{2}-1 right)}^{{{x}^{2}}-x-1}}={{left( sqrt{2}-1 right)}^{-1}}Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-1=-1Leftrightarrow left[ begin{array} {} x=0 \ {} x=1 \ end{array} right.Rightarrow T={{0}^{2}}+{{1}^{2}}=1$. Chọn B.
| Bài tập 10: Tổng lập phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=frac{1}{243}$
A. $T=124$. B. $T=125$. C. $T=126$. D. $T=26$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{3}^{-{{x}^{2}}+4x}}=frac{1}{243}={{3}^{-5}}Leftrightarrow -{{x}^{2}}+4x=-5Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0Leftrightarrow left[begin{array} {} x=-1 \ {} x=5 \ end{array} right.$
Do đó $T={{left( -1 right)}^{3}}+{{5}^{3}}=124$. Chọn A.
| Bài tập 11: Biết phương trình ${{4}^{x}}+{{4}^{x+1}}={{2}^{x}}+{{2}^{x+1}}$ có nghiệm duy nhất là $x=a{{log }_{2}}3+b{{log }_{2}}5$ (trong đó $a;bin mathbb{Z}$). Giá trị của $T=a+b$ là:
A. $T=0$. B. $T=1$. C. $T=-2$. D. $T=2$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $PTLeftrightarrow {{4}^{x}}+{{4.4}^{x}}={{2}^{x}}+{{2.2}^{x}}Leftrightarrow {{5.4}^{x}}={{3.2}^{x}}Leftrightarrow {{2}^{x}}=frac{3}{5}Leftrightarrow x={{log }_{2}}frac{3}{5}={{log }_{2}}3-{{log }_{2}}5$
Khi đó $a=1;b=-1Rightarrow T=a+b=0$. Chọn A.
| Bài tập 12: Nghiệm của phương trình ${{left( 2+sqrt{3} right)}^{3x+1}}={{left( 2-sqrt{3} right)}^{5x+7}}$ là ${{x}_{0}}$ thì giá trị của $A={{x}_{0}}+{{3}^{{{x}_{0}}}}$ bằng
A. $A=frac{10}{3}$. B. $A=frac{4}{3}$. C. $A=4$. D. $A=frac{-2}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Do $left( 2+sqrt{3} right)left( 2-sqrt{3} right)=1Rightarrow 2-sqrt{3}={{left( 2+sqrt{3} right)}^{-1}}$
Ta có: ${{left( 2+sqrt{3} right)}^{3x+1}}={{left( 2-sqrt{3} right)}^{5x+7}}Leftrightarrow {{left( 2+sqrt{3} right)}^{3x+1}}={{left( 2+sqrt{3} right)}^{-5x-7}}Leftrightarrow 3x+1=-5x-7Leftrightarrow x=-1$
Vậy $A=-1+{{3}^{-1}}=frac{-2}{3}$. Chọn D.