Bài toán min max giá trị lớn nhất nhỏ nhất của Logarit – Công thức và cách giải bài tập
1. Công thức lôgarit
Giả sử $a>0,ane 1$ và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:${log _a}left( {AB} right) = {log _a}A + {log _b}B$
Mở rộng ${{log }_{a}}left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{N}} right)={{log }_{a}}{{A}_{1}}+{{log }_{a}}{{A}_{2}}+…+{{log }_{a}}{{A}_{N}}$.
${{{log }_a}frac{A}{B} = {{log }_a}A – {{log }_a}B}$ Hệ quả ${{log }_{a}}frac{1}{N}=-log N$.
· ${{{log }_a}{N^alpha } = alpha .{{log }_a}left| N right|}$
· ${{{log }_a}sqrt[n]{N} = frac{1}{n}.{{log }_a}N}$
Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; $c,text{ }x>0$ ta có
· ${{log }_{a}}b.{{log }_{b}}c={{log }_{a}}c$ và ${{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a};text{ }{{log }_{frac{1}{a}}}x=-{{log }_{a}}x$.
· ${{log }_{{{a}^{alpha }}}}x=frac{1}{alpha }{{log }_{a}}x$ và ${{log }_{sqrt[n]{a}}}x=n.{{log }_{a}}x$
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D)
Phương pháp giải
– Bước 1: Tính ${y}’={f}’left( x right)$, tìm tất cả các nghiệm ${{x}_{i}}$ của phương trình ${f}’left( x right)=0$ và các điểm ${{alpha }_{i}}$làm cho ${f}’left( x right)$ không xác định.
– Bước 2:
· Trường hợp 1: $Din left[ a;b right]$. Tính các giá trị $fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x}_{i}} right),fleft( {{alpha }_{i}} right)$.
Với ${{x}_{i}},{{alpha }_{i}}in left[ a;b right]xrightarrow{{}}left{ begin{array} {} underset{D}{mathop{min }},fleft( x right)=min left{ fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x}_{i}} right),fleft( {{alpha }_{i}} right) right} \ {} underset{D}{mathop{max }},fleft( x right)=max left{ fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x}_{i}} right),fleft( {{alpha }_{i}} right) right} \ end{array} right.$.
· Trường hợp 2:$Dnotin left[ a;b right]xrightarrow{{}}$Lập bảng biến thiên suy ra min, max.
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn $left[ a;b right]$.
Nếu hàm số $y=fleft( x right)$đồng biến với $forall xin left[ a;b right]Rightarrow $${mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} y = fleft( a right);mathop {max }limits_{left[ {a;b} right]} y = fleft( b right)}$
Nếu hàm số $y=fleft( x right)$nghịch biến với $forall xin left[ a;b right]Rightarrow $${mathop {min }limits_{left[ {a;b} right]} y = fleft( a right);mathop {max }limits_{left[ {a;b} right]} y = fleft( b right)}$
3. Các bất đẳng thức quen thuộc
a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: $a+bge 2sqrt{ab}$.
Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: $a+b+cge 3sqrt[3]{abc}$.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ${{left( ab+cd right)}^{2}}le left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} right)left( {{b}^{2}}+{{d}^{2}} right)$.
c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức $frac{{{x}^{2}}}{a}+frac{{{y}^{2}}}{b}ge frac{{{left( x+y right)}^{2}}}{a+b}$.