Bài tập trắc nghiệm tích phân vận dụng cao có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho f(x) là hàm số lẻ liên tục trên đoạn $left[ -1;1 right]$và $intlimits_{0}^{-1}{f(x)dx}=10$. Tính $I=intlimits_{0}^{1}{f(x)dx}$
A. $I=-5$ B. $I=5$ C. $I=-10$ D. $I=10$ |
Lời giải chi tiết
Do f(x) là hàm số lẻ nên $intlimits_{-1}^{1}{f(x)dx}=intlimits_{-1}^{0}{f(x)dx}+intlimits_{0}^{1}{f(x)dx}=0$
$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{f(x)dx}=-intlimits_{-1}^{0}{f(x)dx}=intlimits_{0}^{-1}{f(x)dx}=10$Chọn D.
| Bài tập 2: Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn $left[ -3;3 right]$và $intlimits_{-3}^{0}{f(x)dx}=2$. Tính $I=intlimits_{-3}^{3}{f(x)dx}$
A. $I=2$ B. $I=4$ C. $I=-2$ D. $I=-4$ |
Lời giải chi tiết
Do f(x) là hàm số chẵn nên $I=intlimits_{-3}^{3}{f(x)dx}=2intlimits_{-3}^{0}{f(x)dx}=2intlimits_{0}^{3}{f(x)dx}=2.2=4$. Chọn D.
| Bài tập 3: Giả sử tích phân $I=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{x}^{2}}+cos x}{1+{{3}^{x}}}dx}=a{{pi }^{3}}+bpi +c$, trong đó $a,b,cin mathbb{Q}$. Tính $S=8a+4b+c$
A. $frac{5}{3}$ B. $frac{4}{3}$ C. $frac{8}{3}$ D. $frac{2}{3}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=-xRightarrow dt=-dx$và đổi cận $left| begin{array} {} x=-frac{pi }{2}Rightarrow t=frac{pi }{2} \ {} x=frac{pi }{2}Rightarrow t=-frac{pi }{2} \ end{array} right.$
Khi đó $I=-intlimits_{frac{pi }{2}}^{-frac{pi }{2}}{frac{{{(-t)}^{2}}+cos(-t)}{1+{{3}^{-t}}}dt=}intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{t}^{2}}+cos t}{frac{{{3}^{t}}+1}{{{3}^{t}}}}dt}=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{x}^{2}}+operatorname{cosx}}{1+{{3}^{x}}}{{3}^{x}}dx}$
$Rightarrow 2I=intlimits_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}{({{x}^{2}}+operatorname{cosx})dx}Rightarrow I=frac{1}{2}left. left( frac{{{x}^{3}}}{3}+operatorname{s}text{inx} right) right|_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}=frac{{{pi }^{3}}}{24}+1Rightarrow a=frac{1}{24};b=0;c=1$
Do đó $S=frac{4}{3}$. Chọn B.
| Bài tập 4: Giả sử tích phân $I=intlimits_{0}^{pi }{frac{xsin text{x}dx}{1+{{cos }^{2}}x}}=a{{pi }^{2}}+bpi +c$, trong đó $a,b,cin mathbb{Q}$. Tính $S=a+b-c$
A. $S=frac{1}{2}$ B. $S=frac{-1}{2}$ C. $I=frac{1}{4}$ D. $I=frac{-1}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=pi -xRightarrow I=intlimits_{0}^{pi }{frac{xsin text{x}dx}{1+{{cos }^{2}}x}}=intlimits_{0}^{pi }{frac{(pi -t)sin (pi -t)}{1+{{cos }^{2}}(pi -t)}(-dt)=}intlimits_{0}^{pi }{frac{(pi -t)operatorname{sint}}{1+{{cos }^{2}}t}}dt=intlimits_{0}^{pi }{frac{(pi -x)operatorname{sinx}dx}{1+{{cos }^{2}}x}}$
Khi đó $2I=pi intlimits_{0}^{pi }{frac{sin text{x}dx}{1+{{cos }^{2}}x}}=pi intlimits_{0}^{pi }{frac{-d(cos x)}{1+{{cos }^{2}}x}}=-pi intlimits_{1}^{-1}{frac{du}{1+{{u}^{2}}}}xrightarrow{v=tan u}-pi intlimits_{frac{pi }{4}}^{-frac{pi }{4}}{du=}frac{{{pi }^{2}}}{2}$
Do đó $I=frac{{{pi }^{2}}}{4}Rightarrow a=frac{1}{4};b=c=0Rightarrow S=frac{1}{4}$. Chọn C.