Bài tập Tích phân hàm hữu tỉ và lượng giác có đáp án
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
a) $intlimits_{2}^{3}{frac{7{{x}^{2}}-3x-2}{{{x}^{3}}-x}dx}.$ b) $intlimits_{2}^{3}{frac{left( 7x-4 right)dx}{{{x}^{3}}-3x+2}.}$ c) $I=intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{sin }^{2}}xdx}{sin 3x}}$ d) $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{tan x+1}{{{cos }^{2}}x{{left( 2tan x+1 right)}^{3}}}dx.}$ |
Lời giải chi tiết
- a) Đồng nhất hệ số: $frac{7{{x}^{2}}-3x-2}{x(x-1)(x+1)}=frac{A}{x}+frac{B}{x-1}+frac{C}{x+1}$
$Rightarrow 7{{x}^{2}}-3x-2=Aleft( x-1 right)left( x+1 right)+Bxleft( x+1 right)+Cxleft( x-1 right)text{ (1)}$
Xét PT (1) cho $left{ begin{matrix} x=1Rightarrow 2=2B \ x=0Rightarrow -2=-A \ x=-1Rightarrow 8=2C \end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix} B=1 \ A=2 \ C=4 \end{matrix} right. right.$
Khi đó ta có $I=intlimits_{2}^{3}{left( frac{2}{x}+frac{1}{x-1}+frac{4}{x+1} right)dx=left( 2ln left| x right|+ln left| x-1 right|+4ln left| x+1 right| right)left| begin{matrix} ^{3} \ _{2} \end{matrix} right.}$
$=2ln frac{3}{2}+ln 2+4ln frac{4}{3}.$
- b) Đồng nhất $frac{7x-4}{{{x}^{3}}-3x+2}=frac{7x-4}{{{left( x-1 right)}^{2}}left( x+2 right)}=frac{A}{{{left( x-1 right)}^{2}}}+frac{B}{x-1}+frac{C}{x+2}$
Ta có $I=intlimits_{2}^{3}{frac{left( 7x-4 right)dx}{{{x}^{3}}-3x+2}=intlimits_{2}^{3}{left[ frac{1}{{{left( x-1 right)}^{2}}}+frac{2}{x-1}-frac{2}{x+2} right]}}dx=left( frac{-1}{x-1}+2ln left| frac{x-1}{x+2} right| right)left| begin{matrix} ^{3} \ _{2} \end{matrix}=frac{1}{2}+2ln frac{8}{5}. right.$
- c) $I=intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{sin }^{2}}xdx}{sin 3x}}=intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{{{sin }^{2}}xdx}{3sin x-4{{sin }^{3}}x}=intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{sin xdx}{3-4{{sin }^{2}}x}}}=-intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{dleft( cos x right)}{4{{cos }^{2}}x-1}}$
$xrightarrow{t=cos x}I=intlimits_{frac{sqrt{3}}{2}}^{0}{frac{dt}{4{{t}^{2}}-1}}=intlimits_{0}^{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{dt}{left( 2t-1 right)left( 2t+1 right)}}=frac{1}{4}ln left| frac{2t-1}{2t+1} right|left| begin{matrix} ^{frac{sqrt{3}}{3}} \ _{0} \end{matrix} right.=frac{1}{4}ln left( 2-sqrt{3} right)$
- d) Ta có $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{tan x+1}{{{cos }^{2}}x{{left( 2tan x+1 right)}^{3}}}dx}.$ Đặt $t=tan xRightarrow dt=frac{1}{{{cos }^{2}}x}dx.$
Đối cận $left| begin{matrix} x=0Rightarrow t=0 \ x=frac{pi }{4}Rightarrow t=1 \end{matrix} right.$
$Rightarrow I=intlimits_{0}^{1}{frac{t+1}{{{left( 2t+1 right)}^{3}}}dt=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{1}{frac{2t+1+1}{{{left( 2t+1 right)}^{3}}}dt=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{1}{frac{dt}{{{left( 2t+1 right)}^{2}}}+frac{1}{2}}intlimits_{0}^{1}{frac{dt}{{{left( 2t+1 right)}^{3}}}=frac{1}{4}left( -frac{1}{2t+1}-frac{1}{2{{left( 2t+1 right)}^{2}}} right)}left| begin{matrix} ^{1} \ _{0} \end{matrix}=frac{5}{18}. right.$
| Bài tập 2: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{2{{x}^{2}}+3x+1}=aln 2+bln 3+c}$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T=a+2b+3c.$
A. $T=0$ B. $T=2$ C. $T=-2$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
$I=intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{2{{x}^{2}}+3x+1}=intlimits_{0}^{1}{frac{xdx}{left( 2x+1 right)left( x+1 right)}=}}intlimits_{0}^{1}{frac{left( 2x+1 right)-left( x+1 right)}{left( 2x+1 right)left( x+1 right)}dx}$
$=int{left( frac{1}{x+1}-frac{1}{2x+1} right)}dx=left( ln left| x+1 right|-frac{lnleft| 2x+1 right|}{2} right)left| begin{matrix} ^{1} \ _{0} \end{matrix}=ln 2-frac{1}{2}ln3 right.Rightarrow left{ begin{matrix} a=1 \ b=-frac{1}{2} \ c=0 \end{matrix} right.$
Do đó $T=a+2b+c=0.$ Chọn A
| Bài tập 3: Cho tích phân $I=intlimits_{3}^{4}{frac{2{{x}^{2}}+4x+1}{{{x}^{2}}+x}}dx=aln 5+bln 3+c$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+bc$
A. $T=5$ B. $T=3$ C. $T=1$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
$I=intlimits_{3}^{4}{frac{2left( {{x}^{2}}+x right)+2x+1}{{{x}^{2}}+x}}dx=intlimits_{3}^{4}{2dx+intlimits_{3}^{4}{frac{dleft( {{x}^{2}}+x right)}{{{x}^{2}}+x}}}=2+ln left| {{x}^{2}}+x right|left| begin{matrix} ^{4} \ _{3} \end{matrix}=2+ln frac{20}{12} right.$
$=2+ln frac{5}{3}=ln 5-ln 3+2Rightarrow left{ begin{matrix} a=1 \ b=-1 \ c=2 \end{matrix}Rightarrow T=-1. right.$ Chọn D
| Bài tập 4: Cho tích phân $intlimits_{0}^{ln 2}{frac{dx}{3{{e}^{x}}+2}=a+bln 2+cln 5}$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$
Tính giá trị của biểu thức $T=a+3b+2c.$ A. $T=-1$ B. $T=-2$ C. $T=1$ D. $T=-1$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t={{e}^{x}}Rightarrow dt={{e}^{x}}dx=tdx.$ Đổi cận $left| begin{matrix} x=0Rightarrow t=1 \ x=ln 2Rightarrow t=2 \end{matrix} right.$
Khi đó $I=intlimits_{1}^{2}{frac{dt}{tleft( 3t+2 right)}=frac{1}{2}intlimits_{1}^{2}{frac{left( 3t+2 right)-3t}{tleft( 3t+2 right)}}}dt=frac{1}{2}intlimits_{1}^{2}{left( frac{1}{t}-frac{3}{3t+2} right)dt}$
$=frac{1}{2}left[ ln left| t right|-ln left| 3t+2 right| right]left| begin{matrix} ^{2} \ _{1} \end{matrix}=frac{1}{2}ln 2-frac{1}{2}ln frac{8}{5}=-ln 2+frac{1}{2}ln 5 right.$
Do đó $a=0;b=-1;c=frac{1}{2}Rightarrow T=-2.$ Chọn B
| Bài tập 5: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{2}{frac{sin 2x}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}dx=a+2ln b,}$ với $a,b$ là các số hữu tỷ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. $3a+2b=-2$ B. $3a+2b=-1$ C. $3a+2b=1$ D. $3a+2b=2$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=sin xLeftrightarrow dt=cos xdx$ và đổi cận $left{ begin{matrix} x=0to t=0 \ x=frac{pi }{2}to t=1 \end{matrix} right.$
Khi đó $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{frac{2sin x}{{{left( 2+sin x right)}^{2}}}.cos xdx}=2intlimits_{0}^{1}{frac{t}{{{left( t+2 right)}^{2}}}dt=}2intlimits_{0}^{1}{frac{t+2-2}{{{left( t+2 right)}^{2}}}dt=}2intlimits_{0}^{1}{left[ frac{1}{t+2}-frac{t}{{{left( t+2 right)}^{2}}} right]dt}$
$=2left( frac{2}{t+2}+ln left| t+2 right| right)left| begin{matrix} ^{1} \ _{0} \end{matrix}=2left( frac{2}{3}+ln 3-1-ln 2 right) right.=-frac{2}{3}+2.ln frac{3}{2}=a+2.ln bRightarrow left{ begin{matrix} a=-frac{2}{3} \ b=frac{3}{2} \end{matrix}. right.$ Chọn C
| Bài tập 6: Cho tích phân $I=intlimits_{2}^{6}{frac{2x+1}{{{x}^{3}}-x}}dx=aln 7+bln 5+cln 3$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $S=left| a right|+left| b right|+left| c right|$
A. $S=frac{1}{2}$ B. $S=frac{3}{2}$ C. $S=3$ D. $S=frac{5}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $intlimits_{2}^{6}{frac{2x+1}{{{x}^{3}}-x}}dx=intlimits_{2}^{6}{frac{x+1+x}{x.left( x-1 right)left( x+1 right)}}dx=intlimits_{2}^{6}{frac{dx}{x.left( x-1 right)}+intlimits_{2}^{6}{frac{dx}{left( x-1 right)left( x+1 right)}}}$
$=ln left| frac{x-1}{x} right|left| begin{matrix} ^{6} \ _{2} \end{matrix}+frac{1}{2} right.ln left| frac{x-1}{x+1} right|left| begin{matrix} ^{6} \ _{2} \end{matrix}=ln frac{5}{3}+frac{1}{2}ln frac{15}{7}=frac{3}{2}ln 5-frac{1}{2}ln 7-frac{1}{2}ln 3 right.$
Do đó $a=frac{3}{2};b=c=-frac{1}{2}Rightarrow S=left| a right|+left| b right|+left| c right|=frac{5}{2}.$ Chọn D
| Bài tập 7: Cho tích phân $intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{left( 2sin x-1 right)cos xdx}{2sin x+1}=a+ln 3+cln 2}$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. $b+c=a.$ B. $b+c=2a$ C. $b-c=4a$ D. $b-c=-4a$ |
Lời giải chi tiết
$I=intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{left( 2sin x-1 right)cos xdx}{2sin x+1}=}intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}}{frac{left( 2sin x-1 right)dleft( sin x right)}{2sin x+1}xrightarrow{t=sin x}I=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{2t-1}{2t+1}dt=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{left( 1-frac{2}{2t+1} right)dt}}}$
$=left( t-ln left| 2t+1 right| right)left| begin{matrix} ^{1} \ _{frac{1}{2}} \end{matrix} right.=frac{1}{2}-ln frac{3}{2}=frac{1}{2}-ln 3+ln 2Rightarrow a=frac{1}{2};b=-1;c=1Rightarrow b-c=-4a.$ Chọn D
| Bài tập 8: Cho tích phân $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( {{cos }^{3}}x-{{cos }^{2}}x right)dx=a+b.sqrt{2}}+c.pi $ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính tổng $S=a+b+c.$
A. $S=frac{1}{24}$ B. $S=frac{-1}{12}$ C. $S=frac{-1}{24}$ D. $S=frac{-5}{24}$ |
Lời giải chi tiết
$intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( {{cos }^{3}}x-{{cos }^{2}}x right)dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{cos }^{3}}xdx-intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{cos }^{2}}xdx}=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{cos }^{2}}xdsin x-intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{1+cos 2x}{2}dx}}}$
$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( 1-{{sin }^{2}}x right)dsin x-left( frac{x}{2}+frac{sin 2x}{4} right)left| begin{matrix} ^{frac{pi }{4}} \ _{0} \end{matrix}=left( sin x-frac{{{sin }^{3}}x}{3} right) right.}left| begin{matrix} ^{frac{pi }{4}} \ _{0} \end{matrix}-left( frac{pi }{8}+frac{1}{4} right) right.$
$=-frac{1}{4}+frac{5}{12}sqrt{2}-frac{1}{8}pi Rightarrow a+b+c=frac{-1}{4}+frac{5}{12}-frac{1}{8}=frac{1}{24}.$ Chọn A.
| Bài tập 9: Cho tích phân $I=intlimits_{1}^{2}{frac{dx}{{{x}^{4}}+2x}}=aln 3+bln 2+cln 5$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính giá trị của biểu thức $T=aleft( b+c right)$
A. $T=frac{2}{9}$ B. $T=frac{-5}{18}$ C. $T=frac{-1}{2}$ D. $T=frac{-1}{9}$ |
Lời giải chi tiết
$I=intlimits_{1}^{2}{frac{dx}{{{x}^{4}}+2x}}=intlimits_{1}^{2}{frac{dx}{xleft( {{x}^{3}}+2 right)}=intlimits_{1}^{2}{frac{{{x}^{2}}dx}{{{x}^{3}}left( {{x}^{3}}+2 right)}}}=frac{1}{3}intlimits_{1}^{2}{frac{d{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}left( {{x}^{3}}+2 right)}}=frac{1}{6}ln left| frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{3}}+2} right|left| begin{matrix} ^{2} \ _{1} \end{matrix} right.$
$=frac{1}{6}ln frac{12}{5}=frac{1}{6}left( 2ln 2+ln 3-ln 5 right)Rightarrow left{ begin{matrix} a=frac{1}{6} \ b=frac{1}{3} \ c=-1 \end{matrix}Rightarrow aleft( b+c right)=frac{-1}{9}. right.$ Chọn D
| Bài tập 10: Cho tích phân $I=intlimits_{0}^{frac{pi }{3}}{frac{sin x{{cos }^{2}}x}{1+cos x}}dx=aln 3+bln 3+c$ với $a,b,cin mathbb{Q}.$ Tính tích $P=abc$
A. $P=frac{1}{8}$ B. $P=frac{1}{4}$ C. $P=frac{-1}{4}$ D. $P=frac{-1}{8}$ |
Lời giải chi tiết
$I=intlimits_{0}^{frac{pi }{3}}{frac{sin x{{cos }^{2}}x}{1+cos x}}dx=intlimits_{0}^{frac{pi }{3}}{frac{{{cos }^{2}}x}{1+cos x}}dleft( cos x right)xrightarrow{t=cos x}intlimits_{1}^{frac{1}{2}}{frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=}}intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{left( t-1+frac{1}{1+t} right)dt}$
$=left( frac{{{t}^{2}}}{2}-t+ln left| t+1 right| right)left| begin{matrix} ^{1} \ _{frac{1}{2}} \end{matrix} right.=-frac{1}{8}+ln frac{4}{3}=2ln 2-ln 3-frac{1}{8}Rightarrow left{ begin{matrix} a=2 \ b=-1 \ c=frac{-1}{8} \end{matrix}Rightarrow P=abc=frac{1}{4}. right.$ Chọn B