Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án.
Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn
Chú ý tính chất: $intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)}dx=intlimits_{a}^{b}{fleft( t right)}dt=intlimits_{a}^{b}{fleft( u right)}du$ (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)}dx=12.$
Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dx.$ A. $I=6.$ B. $I=36.$ C. $I=2.$ D. $I=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dx=frac{1}{3}intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dleft( 3x right)xrightarrow{t=3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( t right)}dt=frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)}dx=frac{12}{3}=4.$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $left[ -1;+infty right)$ và $intlimits_{0}^{3}{fleft( sqrt{x+1} right)}dx=8.$ Tính $I=intlimits_{1}^{2}{x.fleft( x right)}dx$
A. $I=2.$ B. $I=8.$ C. $I=4.$ D. $I=16.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=sqrt{x+1}Rightarrow {{t}^{2}}=x+1Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $left{ begin{matrix} x=0Rightarrow t=1 \ x=3Rightarrow t=2 \end{matrix} right..$
Khi đó $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( sqrt{x+1} right)dx=2}intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=8}Rightarrow intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=4Rightarrow intlimits_{1}^{2}{x.fleft( x right)dx=4.}}$ Chọn C.
| Bài tập 3: Cho $intlimits_{4}^{9}{frac{fleft( sqrt{x} right)dx}{sqrt{x}}=a}$ và $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dx=b$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)}dx$ theo a và b.
A. $I=frac{a}{2}+2b.$ B. $I=2a+b.$ C. $I=2left( a+b right).$ D. $I=frac{a+b}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $intlimits_{4}^{9}{frac{fleft( sqrt{x} right)dx}{sqrt{x}}=}intlimits_{4}^{9}{2fleft( sqrt{x} right)d}left( sqrt{x} right)xrightarrow{t=sqrt{x}}intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=aRightarrow }intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=frac{a}{2}}$
Do đó $intlimits_{2}^{3}{2fleft( x right)dx=frac{a}{2}}.$
Lại có: $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dx=frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dleft( 2x right)xrightarrow{u=2x}frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( u right)}dleft( u right)=frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=b$
Do đó $intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=2bRightarrow intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx+intlimits_{2}^{3}{fleft( x right)}dx=2b+frac{a}{2}.$ Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right)}.cos 3xdx=1$ và $intlimits_{0}^{ln 2}{{{e}^{x}}.fleft( {{e}^{x}} right)}dx=3.$
Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx.$ A. $I=4.$ B. $I=5.$ C. $I=2.$ D. $I=6.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).cos 3xdx=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).dleft( sin 3x right)}xrightarrow{t=sin 3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( t right).dt=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}1$
$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}3$
Lại có: $intlimits_{0}^{ln 2}{{{e}^{x}}.fleft( {{e}^{x}} right)}dx=intlimits_{0}^{ln 2}{fleft( {{e}^{x}} right)}dleft( {{e}^{x}} right)xrightarrow{u={{e}^{x}}}intlimits_{1}^{2}{fleft( u right)}du=intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3$
Do đó $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx+intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{cot xf}left( {{sin }^{2}}x right)dx=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{x}}dx=1.$
Tính tích phân $I=intlimits_{frac{1}{8}}^{1}{frac{fleft( 4x right)}{x}}dx.$ A. $I=3.$ B. $I=frac{3}{2}.$ C. $I=2.$ D. $I=frac{5}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
$A=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{cot xf}left( {{sin }^{2}}x right)dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{cos x}{sin x}f}left( {{sin }^{2}}x right)dx$
Đặt $t={{sin }^{2}}xRightarrow dt=2sin xcos xdx,$ đổi cận suy ra $A=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( t right)}{2t}dt}=1Rightarrow intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=2.$
Mặt khác $B=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{x}}dx=1xrightarrow{u=sqrt{x}}intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{{{u}^{2}}}}2uduRightarrow B=2intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{u}}du=1Rightarrow intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=frac{1}{2}$
Xét $I=intlimits_{frac{1}{8}}^{1}{frac{fleft( 4x right)}{x}}dxxrightarrow{v=4x}I=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{frac{v}{4}}}.frac{dv}{4}=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{v}}dv=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=A+B=frac{5}{2}.$ Chọn D.
| Bài tập 6: Cho các khẳng định sau:
(1). $intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dx=}intlimits_{0}^{1}{sin xdx}.$ (2). $intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin xdx}.$ (3). $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)cos 2xdx}.$ (4). $intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)dx=}2intlimits_{1}^{2}{x.fleft( {{x}^{2}}+1 right)dx}.$ Số khẳng định đúng là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta có $intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dx=}-intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dleft( 1-x right)}xrightarrow{t=1-x}-intlimits_{1}^{0}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin xdx}.$
$intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dx=}2intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dfrac{x}{2}=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin udu=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin xdx}.$
$frac{1}{2}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)cos 2xdx}=frac{1}{4}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)dleft( sin 2x right)=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( v right)dv=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$
$2intlimits_{1}^{2}{x.fleft( {{x}^{2}}+1 right)dx}=intlimits_{1}^{2}{fleft( {{x}^{2}}+1 right)dleft( {{x}^{2}}+1 right)}=intlimits_{1}^{5}{fleft( z right)dz}=intlimits_{1}^{5}{fleft( x right)dx}.$
Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)}.dx=a$ và $intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}fleft( x right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=b.$
Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx$ theo a và b. A. $I=a-b.$ B. $I=a+b.$ C. $I=frac{a}{b}.$ D. $I=a+b-1.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $x=tan tRightarrow dx=frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $left| begin{matrix} x=0Rightarrow t=0 \ x=1Rightarrow t=frac{pi }{4} \end{matrix} right.$
Khi đó $intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}fleft( x right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)}{{{tan }^{2}}t+1}.}frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)dt=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}b$
Suy ra $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dx}+intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( 1+{{tan }^{2}}x right).fleft( tan x right)dx}$
$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{fleft( tan x right)dx}{{{cos }^{2}}x}=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dleft( tan x right)=}intlimits_{0}^{1}{fleft( u right)du=}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$
Do đó $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=a+b.$ Chọn A.