Công thức ứng dụng tích phân tính thể tích – lý thuyết và các dạng bài tập
Tính thể tích vật thể
Cắt một vật thể $left( H right)$ bởi hai mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$ vuông góc với trục $Ox$ lần lượt tại $x=a;,,x=b,,left( a<b right).$ Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với $Ox$ tại điểm $x$ ($ale xle b$) cắt $left( H right)$ theo thiết diện là $Sleft( x right)$ (hình vẽ). Giả sử $Sleft( x right)$ liên tục trên đoạn $left[ a;b right].$
Khi đó thể tích $V$ của vật thể $left( H right)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$ được tính bởi công thức:
$V=int_{a}^{b}{Sleft( x right)dx}.$
Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Ox
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$ và $x=b,,,,left( a<b right)$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay (hình vẽ). Khi đó ta có thể tích vật thể là: $V=int_{a}^{b}{Sleft( x right)dx}$
Mặt khác tại điểm $x$ ta có $Sleft( x right)$ là một hình tròn có bán kính $R=fleft( x right)$
$Rightarrow S,left( x right)=pi {{R}^{2}}=pi {{f}^{2}}left( x right)$. Vậy ${{V}_{Ox}}=pi int_{a}^{b}{{{f}^{2}}left( x right)dx}.$
Trong trường hợp $Sleft( x right)$ giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ và $y=gleft( x right)$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
${{V}_{Ox}}=pi int_{a}^{b}{left| {{f}^{2}}left( x right)-{{g}^{2}}left( x right) right|dx}.$
Chú ý: Khi bài toán không cho hai đường thẳng giới hạn $x=a$ và $x=b$ thì ta giải phương trình $fleft( x right)=gleft( x right)$ để tìm cận của tích phân, trong đó $x=a$ là nghiệm nhỏ nhất và $x=b$ là nghiệm lớn nhất của phương trình.
Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi diện tích S quay quanh trục Oy
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=fleft( x right)$ trục $Oy$ và hai đường thẳng $y=fleft( a right);,,y=fleft( b right).$
– Bước 1: Biến đổi $y=fleft( x right)$ về dạng $x={{f}_{1}}left( y right).$
– Bước 2: Khi đó ${{V}_{Oy}}=pi intlimits_{fleft( a right)}^{fleft( b right)}{f_{1}^{2}}left( y right)dy.$
Tương tự: Trong trường hợp ${{V}_{Oy}}$ sinh ra bởi diện tích hình phẳng của hai đồ thị hàm số $y=fleft( x right);,,y=gleft( x right)$ và hai đường thẳng $y=m {} ,;,,y=n$ ta có ${{V}_{Oy}}=pi intlimits_{m}^{n}{left| f_{1}^{2}left( y right)-g_{1}^{2}left( y right) right|},dy.$
Chú ý: Khi quay diện tích hình phẳng $S$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích ${{V}_{Ox}}$. Khi quay quanh trục $Oy$ ta được khối tròn xoay có thể tích ${{V}_{Oy}}.$
Hầu như ${{V}_{Ox}}$ không bằng ${{V}_{Oy}}$. Chúng chỉ bằng nhau trong một số trường hợp đặc biệt.
Ứng dụng tính thể tích khối cầu, khối chỏm cầu và một số hình đặc biệt
– Thể tích của khối cầu
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình: $left( P right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}$ với $r>0;,,yge 0$ (hình vẽ). Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán kính $r.$
Thể tích của mặt cầu này là: $V=frac{4}{3}pi {{r}^{3}},,left( vtt right)$.
Thật vậy: Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}Leftrightarrow y=pm sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Với $yge 0$ ta có: $y=sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}$có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
Khi đó thể tích khối cầu $V=pi intlimits_{-r}^{r}{{{left( sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}} right)}^{2}}dx}=2pi intlimits_{0}^{r}{left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} right)dx=left. 2pi left( {{r}^{2}}x-frac{{{x}^{3}}}{3} right) right|}_{0}^{r}$
$=2pi left( {{r}^{3}}-frac{{{r}^{3}}}{3} right)=frac{4pi {{r}^{3}}}{3},,left( vtt right)$