Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án
Phương pháp giải hệ phương trình nghiệm thực
Phương pháp: Đặt $z=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$ từ đó suy ra $overline{z}=a=bi;text{ }left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i;text{ }{{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i$ ta có: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{a}_{1}}={{a}_{2}} \ {} {{b}_{1}}={{b}_{2}} \ end{array} right.$.
Bài tập trắc nghiệm số phức có Lời giải chi tiết
|
Bài tập 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn $left( 2x-3yi right)+left( 1-3i right)=x+6i$ với i là đơn vị ảo A. $x=-1;y=-3$. B. $x=-1;y=-1$. C. $x=1;y=-1$. D. $x=1;y=-3$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( 2x-3yi right)+left( 1-3i right)=x+6iLeftrightarrow left( 2x+1 right)+left( -3y-3 right)i=x+6iLeftrightarrow left{ begin{array} {} 2x+1=x \ {} -3y-3=6 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} x=-1 \ {} y=-3 \ end{array} right.$. Chọn A.
|
Bài tập 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng $left( 1+2i right)z+left( 1-i right)overline{z}=21+3i$. A. $left| z right|=sqrt{34}$. B. $left| z right|=5$. C. $left| z right|=3sqrt{2}$. D. $left| z right|=sqrt{29}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi;text{ }a,bin mathbb{R}$.
Ta có: $left( 1+2i right)left( a+bi right)+left( 1-i right)left( a-bi right)=21+3i$
$Leftrightarrow a-2b+left( 2a+b right)i+a-b-ai-bi=21+3i$
$Leftrightarrow left( 2a-3b right)+ai=21+3iLeftrightarrow left{ begin{array} {} 2a-3b=21 \ {} a=3 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=3 \ {} b=-5 \ end{array} right.Rightarrow left| z right|=sqrt{34}$. Chọn A.
|
Bài tập 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng $left( 1+2i right)z+left( 2-2i right)overline{z}=i$. A. $T=-7$. B. $T=frac{1}{3}$. C. $T=frac{-7}{3}$. D. $T=frac{-1}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi;text{ }a,bin mathbb{R}$.
Ta có: $left( 1+2i right)left( a+bi right)+left( 2-2i right)left( a-bi right)=i$
$Leftrightarrow a-2b+left( 2a+b right)i+2a-2b-2ai-2bi=i$
$Leftrightarrow 3a-4b-bi=iLeftrightarrow left{ begin{array} {} 3a-4b=0 \ {} -b=1 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=frac{-4}{3} \ {} b=-1 \ end{array} right.Rightarrow S=frac{-7}{3}$. Chọn C.
|
Bài tập 4: Cho số phức $z=a+bitext{ }left( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn: $left( 2-3i right)z+left( 4+i right)overline{z}=-{{left( 1+3i right)}^{2}}$. Tính $T=2a+b$ A. $T=-8$. B. $T=8$. C. $T=-1$. D. $T=1$. |
Lời giải chi tiết
Ta có: $left( 2-3i right)left( a+bi right)+left( 4+i right)left( a-bi right)=8-6i$
$Leftrightarrow 6a+4b-left( 2a+2b right)i=8-6iLeftrightarrow left{ begin{array} {} 6a+4b=8 \ {} 2a+2b=6 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-2 \ {} b=5 \ end{array} right.Rightarrow T=2a+b=1$. Chọn D.
|
Bài tập 5: Cho số phức $z=a+bitext{ }left( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn $left( 1+i right)left( 2z-1 right)+left( overline{z}+1 right)left( 1-i right)=2-2i$. Tính $P=a+b$. A. $P=0$. B. $P=1$. C. $P=-1$. D. $P=-frac{1}{3}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=a-bi$. Ta có $left( 1+i right)left( 2z-1 right)+left( overline{z}+1 right)left( 1-i right)=2left( 1+i right)z+left( 1-i right)overline{z}-2i$.
Suy ra $2left( 1+i right)z+left( 1-i right)overline{z}=2Leftrightarrow 2left( 1+i right)left( a+bi right)+left( 1-i right)left( a-bi right)=2$.
$Leftrightarrow 2a-2b+a-b+left( a+b right)i=2Leftrightarrow 3a-3b-2+left( a+b right)i=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} 3a-3b-2=0 \ {} a+b=0 \ end{array} right.Rightarrow P=0$. Chọn A.
|
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức $left( i+3 right)z+frac{2+i}{i}=left( 2-i right)overline{z}$. Mô đun của số phức $w=z-i$ là A. $frac{sqrt{26}}{25}$. B. $frac{sqrt{6}}{5}$. C. $frac{2sqrt{5}}{5}$. D. $frac{sqrt{26}}{5}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow left( i+3 right)left( a+bi right)+frac{2+i}{i}=left( 2-i right)left( a-bi right)Leftrightarrow left( -2a-5b+2 right)+left( a+1 right)i=0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -2a-5b+2=0 \ {} a+1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1 \ {} b=frac{4}{5} \ end{array} right.Rightarrow z=-1+frac{4}{5}iRightarrow w=-1-frac{1}{5}iRightarrow left| w right|=frac{sqrt{26}}{5}$. Chọn D.
|
Bài tập 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời $left| z-left( 2+i right) right|=sqrt{10}$ và $z.overline{z}=25$ A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bitext{ }left( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=a-biRightarrow z.overline{z}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$
Ta có: $left| a+bi-2-i right|=sqrt{10}Leftrightarrow {{left( a-2 right)}^{2}}+{{left( b-1 right)}^{2}}=10Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-2b=5$
Giải hệ $left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a-2b=5 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=5;b=0 \ {} a=3;b=4 \ end{array} right.Rightarrow $ có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A.
|
Bài tập 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn $left| z right|=5$ và $left| z+3 right|=left| z+3-10i right|$. Tìm số phức $w=z-4+3i$. A. $w=-3+8i$. B. $w=1+3i$. C. $w=-1+7i$. D. $w=-4+8i$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi;text{ }a,bin mathbb{R}$.
$Rightarrow left{ begin{array} {} left| a+bi right|=5 \ {} left| a+bi+3 right|=left| a+3+left( b-10 right)i right| \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \ {} {{left( a+3 right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{left( a+3 right)}^{2}}+{{left( b-10 right)}^{2}} \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25 \ {} b=5 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} a=0 \ {} b=5 \ end{array} right.Rightarrow z=5iRightarrow w=5i-4+3i=-4+8i$. Chọn D.
|
Bài tập 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn $z+1+3i-left| z right|i=0$. Tính $S=a+3b$. A. $S=-frac{7}{3}$. B. $S=-5$. C. $S=frac{7}{3}$. D. $S=5$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$ ta có: $a+1+bi+3i-sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1 \ {} b+3=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1 \ {} b+3=sqrt{{{b}^{2}}+1} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-1 \ {} b=-frac{4}{3} \ end{array} right.Rightarrow S=-5$. Chọn B.
|
Bài tập 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $left| z+2-i right|=2sqrt{2}$ và ${{left( z-1 right)}^{2}}$ là số thuần ảo? A. 0. B. 2. C. 4. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)$ ta có: $left| a+bi+2-i right|=2sqrt{2}Leftrightarrow {{left( a+2 right)}^{2}}+{{left( b-1 right)}^{2}}=8$.
Mặt khác ${{left( z-1 right)}^{2}}={{left( a+bi-1 right)}^{2}}={{left( a-1 right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2left( a-1 right)bi$ là số thuần ảo suy ra ${{left( a-1 right)}^{2}}-{{b}^{2}}=0$
Do đó $left{ begin{array} {} {{left( a+2 right)}^{2}}+{{left( b-1 right)}^{2}}=8 \ {} {{left( a-1 right)}^{2}}={{b}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array} {} a-1=b \ {} a-1=-b \ end{array} right. \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=0;text{ }b=-1 \ {} a=-1-sqrt{3};text{ }b=2+sqrt{3} \ {} a=-1+sqrt{3};text{ }b=2-sqrt{3} \ end{array} right.$
Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.
|
Bài tập 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $left| z-3i right|=5$ và $frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bileft( zne 4 right)$ ta có: $frac{z}{z-4}=frac{a+bi}{a+bi-4}=frac{left( a+bi right)left( a-4-bi right)}{sqrt{{{left( a-4 right)}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ là số thuần ảo khi $aleft( a-4 right)+{{b}^{2}}=0text{ }left( 1 right)$. Mặt khác $left| z-3i right|=5Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{left( b-3 right)}^{2}}=25text{ }left( 2 right)$
Từ (1) và (2) suy ra $left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4a=0 \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-6b=16 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2a-3b=8 \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=4;text{ }b=0left( loai right) \ {} a=frac{16}{13};text{ }b=frac{-24}{3}left( t/m right) \ end{array} right.$. Chọn C.
|
Bài tập 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $left| z-1 right|=5$ và số phức $w={{z}^{2}}$ là số ảo? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi$ ta có: $w={{left( a+bi right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$
Mặt khác $left| a-1+bi right|=5Leftrightarrow {{a}^{2}}-2a+{{b}^{2}}=24Rightarrow 2{{a}^{2}}-2a-24=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} a=4Rightarrow b=pm 4 \ {} a=-3Rightarrow b=pm 3 \ end{array} right.$
Vậy $z=4pm 4i;z=-3pm 3i$ là các số phức cần tìm. Chọn B.
|
Bài tập 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $left| z right|=2sqrt{2}$ và ${{z}^{2}}$ là số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi;text{ }a,bin mathbb{R}Rightarrow left| a+bi right|=2sqrt{2}Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8text{ }left( 1 right)$.
Mặt khác ${{z}^{2}}={{left( a+bi right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2ab.i$ là số thuần ảo, suy ra ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0text{ }left( 2 right)$.
Từ (1) và (2), suy ra $left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=8 \ {} {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0 \ end{array} right.Rightarrow left| a right|=left| b right|=2Rightarrow $Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A.
|
Bài tập 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện $left| z.overline{z}+z right|=2,text{ }left| z right|=2$. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bi;a,bin mathbb{R}Rightarrow left{ begin{array} {} left| left( a+bi right)left( a-bi right)+a+bi right|=2 \ {} left| a+bi right|=2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} left| {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+bi right|=2 \ {} left| a+bi right|=2 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{left( a+4 right)}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{left( a+4 right)}^{2}}={{a}^{2}} \ {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} a=-2 \ {} {{b}^{2}}=0 \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} a=-2 \ {} b=0 \ end{array} right.Rightarrow z=-2$.
Chọn C.
|
Bài tập 15: Cho số phức $z=a+bitext{ }left( a,bin mathbb{R} right)$ thỏa mãn $frac{{{left| z right|}^{2}}}{z}=frac{2left( z+i right)}{i-1}-2iz$. Tính $S=ab$. A. $S=frac{1}{9}$. B. $S=frac{1}{27}$. C. $S=frac{5}{9}$. D. $S=frac{5}{27}$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $z=a+bitext{ }left( a,bin mathbb{R} right)$, ta có $frac{{{left| z right|}^{2}}}{z}=overline{z}=a-bi$ và $frac{2}{i-1}=-1-i$, khi đó giả thiết trở thành
$overline{z}+left( 1+i right)left( z+i right)+2iz=0Leftrightarrow overline{z}+left( 3i+1 right)z=1-iLeftrightarrow a-bi+left( 3i+1 right)left( a+bi right)=1-i$
$Leftrightarrow 2a-3b+3ai=1-iLeftrightarrow left{ begin{array} {} 2a-3b=1 \ {} 3a=-1 \ end{array} right.Leftrightarrow a=-frac{1}{3}Rightarrow b=-frac{5}{9}Rightarrow S=frac{5}{27}$. Chọn D.
|
Bài tập 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho $left| z-w right|=2left| z right|=left| w right|$. Phần thực của số phức $u=frac{z}{w}$. A. $a=-frac{1}{8}$. B. $a=frac{1}{4}$. C. $a=1$. D. $a=frac{1}{8}$. |
Lời giải chi tiết
Giả sử $u=a+bileft( a;bin mathbb{R} right)$. Theo giả thiết suy ra $left{ begin{array} {} left| u right|=left| frac{z}{w} right|=frac{left| z right|}{left| w right|}=frac{1}{2} \ {} frac{left| z-w right|}{left| w right|}=left| frac{z-w}{w} right|=left| frac{z}{w}-1 right|=left| u-1 right| \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=frac{1}{4} \ {} {{left( a-1 right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \ end{array} right.Rightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}-{{a}^{2}}=frac{3}{4}Rightarrow -2a+1=frac{3}{4}Leftrightarrow a=frac{1}{8}$. Chọn D.