Bài tập giải phương trình phức có đáp án.
Dưới dây là một số bài tập về bậc 2 bậc 3 của phương trình số phức có Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương tình ${{z}^{2}}-2text{z}+4=0$ . Tính $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$
A. $T=2sqrt{3}$ . B. $T=2+sqrt{3}$ . C. $T=4$ . D. $T=4+2sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: ${Delta }’={{1}^{2}}-4=-3=3{{i}^{2}}Rightarrow left[ begin{array} {} {{z}_{1}}=1+isqrt{3} \ {} {{z}_{2}}=1-isqrt{3} \ end{array} right.Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=2Rightarrow T=4$ . Chọn C.
| Bài tập 2: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{left( z-i right)}^{2}}+4=0$ . Tính $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$
A. $T=3$ . B. $T=2$ . C. $T=4$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có:${{left( z-i right)}^{2}}+4=0Leftrightarrow {{left( z-i right)}^{2}}=-4=4{{i}^{2}}Leftrightarrow left[ begin{array} {} z-i=2i \ {} z-i=-2i \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} z=3i \ {} x=-i \ end{array} right.$
Do đó $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|=4$ . Chọn A.
| Bài tập 3: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-left( 3-i right)z+4-3i=0$ .
Tìm giá trị của biểu thức $T=left| z_{1}^{2} right|+left| z_{2}^{2} right|$ A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2sqrt{5}$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Delta ={{left( 3-i right)}^{2}}-16+12i=-8+6i={{left( 1+3i right)}^{2}}$
Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $left[ begin{array} {} {{z}_{1}}=frac{3-i+1+3i}{2}=2+i \ {} {{z}_{2}}=frac{3-i-1-3i}{2}=1-2i \ end{array} right.$
Do đó: $z_{1}^{2}=3+4i;z_{2}^{2}=-3-4iRightarrow T=left| 3+4i right|+left| -3-4i right|=10$ .Chọn D.
| Bài tập 4: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+3left( 1+i right)z+5i=0$ . Tìm giá trị biểu thức $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$ .
A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2sqrt{5}$ . D. $T=10$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $Delta =9{{left( 1+i right)}^{2}}-20i=-2i={{left( 1-i right)}^{2}}$
Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $left[ begin{array} {} {{z}_{1}}=frac{3+3i+1-i}{2}=2+i \ {} {{z}_{2}}=frac{3+3i-1+i}{2}=1+2i \ end{array} right.Rightarrow left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=sqrt{5}$
Do đó $T=2sqrt{5}$ . Chọn C.
| Bài tập 5: Giải phương trình phức ${{z}^{2}}+left( 1-2i right)z-1-i=0$ .
A. $left[ begin{array} {} z=-i \ {} z=-1+3i \ end{array} right.$ . B. $left[ begin{array} {} z=-1 \ {} z=1-i \ end{array} right.$ . C. $left[ begin{array} {} z=i \ {} z=1-3i \ end{array} right.$ . D. $left[ begin{array} {} z=i \ {} z=-1+i \ end{array} right.$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có $Delta ={{left( i-2i right)}^{2}}+4left( 1+i right)=1Rightarrow {{z}_{1}}=frac{-1+2i+1}{2}=i$ và ${{z}_{2}}=frac{-1+2i-1}{2}=-1+i$ .Chọn D
| Bài tập 6: Cho phương trình phức ${{z}^{2}}+btext{z}+c=0left( b,cin mathbb{R} right)$ có một nghiệm là $1+2i$ . Tính giá trị của biểu thức S = b + c.
A. S = 7. B. S = $-1$ . C. S = 3. D. S = $-3$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có ${{left( 1+2i right)}^{2}}+bleft( 1+2i right)+c=0Leftrightarrow -3+4i+b+2bi+c=0$
$Leftrightarrow b+c-3+left( 2b+4 right)i=0Leftrightarrow left{ begin{array} {} 2b+4=0 \ {} b+c-3=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} b=-2 \ {} c=5 \ end{array} right.Rightarrow S=3$ . Chọn C.
| Bài tập 7: [Đề minh hoạ Bộ GD {} ĐT 2017] Kí hiệu ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0$ . Tính tổng $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|+left| {{z}_{3}} right|+left| {{z}_{4}} right|$.
A. T = 4. B. $T=2sqrt{3}$ . C. $T=4+2sqrt{3}$ . D. $T=2+2sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{z}^{2}}=4 \ {} {{z}^{2}}=-3=3{{i}^{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} z=pm 2 \ {} z=pm isqrt{3} \ end{array} right.$
Do đó $T=left| 2 right|+left| -2 right|+left| isqrt{3} right|+left| -isqrt{3} right|=2+2+sqrt{3}+sqrt{3}=4+2sqrt{3}$ . Chọn C.
| Bài tập 8: Tổng các nghiệm của phương trình ${{left( frac{z-i}{z+i} right)}^{3}}+{{left( frac{z-i}{z+i} right)}^{2}}+left( frac{z-i}{z+i} right)+1=0$ là:
A. $T=0$ . B. T = $1-2i$ . C. T = 1 + 2i. D. T = $-1$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $t=left( frac{z-i}{z+i} right);left( zne -i right)$ ta có: ${{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1=0Leftrightarrow left( t+1 right)left( {{t}^{2}}+1 right)=0$
Với $t=-1Rightarrow frac{z-i}{z+i}=-1Leftrightarrow z=0$
Với $t=iRightarrow frac{z-i}{z+i}=iLeftrightarrow z=-1$
Với $i=-iRightarrow frac{z-i}{z+i}=-iLeftrightarrow z=1$
Vậy phương trình có 3 nghiệm $z=0;z=pm 1Rightarrow T=0$ .Chọn A.
| Bài tập 9: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-left( 1+i right)z+6+3i=0$ . Tính môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$
A. $left| w right|=2sqrt{10}$ . B. $left| w right|=3sqrt{10}$ . C. $left| w right|=4sqrt{10}$ . D.$left| w right|=5sqrt{10}$ . |
Lời giải chi tiết:
Theo định lý Viet ta có: $left{ begin{array} {} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1+i \ {} {{z}_{1}}{{z}_{2}}=6+3i \ end{array} right.Rightarrow w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{left( 1+i right)}^{2}}-2left( 6+3i right)$
$=2i-12-6i=-12-4iRightarrow left| w right|=4sqrt{10}$ . Chọn C.
| Bài tập 10: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-2text{z}+3=0$ . Tính giá trị của biểu thức $P=left| {{z}_{1}}-2{{text{z}}_{2}} right|+left| {{z}_{2}}-{{2}_{1}} right|$
A. $2sqrt{10}$ . B. $sqrt{19}$ . C. $2sqrt{19}$ . D. $6sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
PT $Leftrightarrow left[ begin{array} {} z=1+sqrt{2}i \ {} z=1-sqrt{2}i \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{z}_{1}}=1+sqrt{2}i \ {} {{z}_{2}}=1-sqrt{2}i \ end{array} right.Rightarrow left{ begin{array} {} {{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=-1+3sqrt{2}i \ {} {{z}_{2}}-2{{text{z}}_{1}}=-1-3sqrt{2}i \ end{array} right.$
$Rightarrow left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} right|=left| {{z}_{2}}-2{{text{z}}_{1}} right|=sqrt{19}Rightarrow P=2sqrt{19}$ . Chọn C.
| Bài tập 11: Cho số phức w, biết rằng ${{z}_{1}}=w-2i$ và ${{z}_{1}}=2w-4$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ với a, b là các số thực. Tính $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$ .
A. $T=frac{8sqrt{10}}{3}$ . B. $T=frac{2sqrt{3}}{3}$ . C. T = 5. D. $T=frac{2sqrt{37}}{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $w=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)$ .
Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a=3w-2i-4=left( 3text{x}-4 right)+left( 3y-2 right)i$ là số thực nên $y=frac{2}{3}$ . Lại có :
${{z}_{1}}{{z}_{2}}=b=left( x+frac{2}{3}i-2i right)left( 2text{x}+frac{4}{3}i-4 right)$ là số thực.
Suy ra $left( x-frac{4}{3}i right)left( 2text{x}-4+frac{4}{3}i right)=xleft( 2text{x}-4 right)-frac{4}{3}ileft( x-4 right)+frac{16}{9}$ là số thực suy ra $x=4$
Do đó ${{z}_{1}}=4+frac{2}{3}i-2i=4-frac{4}{3}i;{{z}_{2}}=4+frac{4}{3}iRightarrow T=frac{8sqrt{10}}{3}$ . Chọn A.
| Bài tập 12: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết ${{z}_{1}}=w+2i$ và ${{z}_{2}}=2w-3$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ . Tính $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|$ .
A. $T=2sqrt{13}$ . B. $T=frac{2sqrt{97}}{3}$ . C. $T=frac{2sqrt{85}}{3}$ . D. $T=4sqrt{13}$ . |
Lời giải chi tiết:
Đặt $w=m+nileft( m;nin mathbb{R} right)$ .
Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3w+2i-3=3m-3+left( 3n+2 right)i=-a$ là số thực do đó $n=frac{-2}{3}$
Lại có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=left( m+frac{4i}{3} right)left( 2m-3-frac{4}{3}i right)=b$ là số thực do đó $frac{4}{3}left( 2m-3 right)-frac{4}{3}m=0Rightarrow m=3$
Do đó ${{z}_{1}}=3+frac{4i}{3};{{z}_{2}}=3-frac{4i}{3}Rightarrow T=frac{2sqrt{97}}{3}$ . Chọn B.
| Ví dụ 13: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ là 3 nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+left( 1-2i right){{z}^{2}}+left( 1-i right)z=2i$ . Biết rằng phương trình có 1 nghiệm thuần ảo tìm môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ .
A. $left| w right|=5$ . B. $left| w right|=sqrt{34}$ . C. $left| w right|=sqrt{29}$ . D. $left| w right|=3sqrt{3}$ . |
Lời giải chi tiết:
Giả sử phương trình có 1 nghiệm thuần ảo là: $z=bileft( bin mathbb{R} right)$ thay vào phương trình:
${{left( bi right)}^{3}}+left( 1-2i right){{left( bi right)}^{2}}+left( 1-i right)bi=2iLeftrightarrow -{{b}^{3}}i-left( 1-2i right){{b}^{2}}+bi+b=2i$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -{{b}^{2}}+b=0 \ {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+b=2 \ end{array} right.Leftrightarrow b=1Leftrightarrow z=i$
Vậy phương trình $Leftrightarrow left( z-i right)left( {{z}^{2}}+left( 1-i right)z+2 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{z}_{3}}=i \ {} {{z}^{2}}+left( 1-i right)z+2=0left( 1 right) \ end{array} right.$
Giả sử PT (1) có 2 nhiệm là ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$
Ta có: $w={{i}^{2}}+{{left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-1+{{left( i-1 right)}^{2}}-4=-2i-5Rightarrow left| w right|=sqrt{29}$ . Chọn C.
| Bài tập 14: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}};{{z}_{4}}$ là các nghiệm của phương trình: $left( {{z}^{2}}+3text{z}+2 right)left( {{z}^{2}}+7text{z}+12 right)=3$
Tính tổng $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|+left| {{z}_{3}} right|+left| {{z}_{4}} right|$ . A. $T=10$ . B. $T=5+2sqrt{7}$ . C. $T=5+sqrt{7}$ . D. $T=sqrt{38}+2sqrt{7}$ . |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $PTLeftrightarrow left( z+1 right)left( z+2 right)left( z+3 right)left( z+4 right)=3Leftrightarrow left( {{z}^{2}}+5text{z}+4 right)left( {{z}^{2}}+5text{z}+6 right)=3$
Đặt $w={{z}^{2}}+5text{z}+4$ ta có $wleft( w+2 right)=3Leftrightarrow left[ begin{array} {} w=1 \ {} w=-3 \ end{array} right.$
Với$w=1Leftrightarrow {{z}^{2}}+5text{z}+3=0Leftrightarrow z=frac{-5pm sqrt{13}}{2}Rightarrow left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|=5$
Với $w=-3Leftrightarrow {{z}^{2}}+5text{z}+7=0Leftrightarrow {{left( z+frac{5}{2} right)}^{2}}=frac{3{{i}^{2}}}{4}Leftrightarrow z=frac{-5pm isqrt{3}}{2}Rightarrow left| {{z}_{3}} right|+left| {{z}_{4}} right|=2sqrt{7}$ . Chọn B.
| Bài tập 15: Biết phương trình ${{z}^{3}}+left( 2-2i right){{z}^{2}}+left( 5-4i right)z-10i=0$ có 3 nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ trong đó ${{z}_{1}}$ là số thuần ảo. Tính tổng $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|+left| {{z}_{3}} right|$ .
A. $T=1+2sqrt{5}$ . B. $T=2sqrt{2}$ . C. $T=12$ . D. $T=2+2sqrt{5}$ . |
Lời giải chi tiết:
Giả sử ${{z}_{1}}=biRightarrow -{{b}^{3}}i-left( 2-2i right){{b}^{2}}+left( 5-4i right)bi-10i=0$
$Leftrightarrow -{{b}^{3}}i-2{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}i+5bi+4b-10i=0Leftrightarrow ileft( -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10 right)-2{{b}^{2}}+4b=0$
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10=0 \ {} -2{{b}^{2}}+4b=0 \ end{array} right.Leftrightarrow b=2$ .
Khi đó $PTLeftrightarrow left( z-2i right)left[ {{z}^{2}}+2text{z}+5 right]=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} z=2i \ {} {{left( z+1 right)}^{2}}=4{{i}^{2}} \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} z=2i \ {} z=-1pm 2i \ end{array} right.$
Suy ra $T=left| {{z}_{1}} right|+left| {{z}_{2}} right|+left| {{z}_{3}} right|=2+2sqrt{5}$ . Chọn D.