Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhanh – bài tập có đáp án
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh
+ Một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại, một đường thằng nào đó nằm trong mặt phẳng (Q) và vuông góc với mặt phẳng (P).
+ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.
Bài tập chứng minh hai mặt phảng vuông có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và $SAbot (ABC).$
a) Chứng minh $(SBC)bot (SAB)$ b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao trong tam giác SAB và SAC. Chứng minh $(SBC)bot (AKH).$ c) Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh $(SAD)bot (SAC)$ |
Lời giải chi tiết
a) Do $SAbot (ABC)Rightarrow SAbot BC$
Tam giác ABC vuông tại B nên $ABbot BC$
Do đó $BCbot (SAB)Rightarrow (SBC)bot (SAB)$
b) Ta có: $BCbot (SAB)Rightarrow BCbot AH$
Mặt khác $AHbot SCRightarrow AHbot (SBC)Rightarrow (AHK)bot (SBC)$
c) Ta có: $AHbot (SBC)Rightarrow AHbot SC$
Mặt khác $AKbot SCRightarrow SCbot (AHK)$ hay $SCbot (AKD)$
Suy ra $ADbot SC$ mà $SAbot ADRightarrow ADbot (SAC)$
Do vậy $(SAD)bot (SAC)$
| Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (ABE) và mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (DFK) b) Chứng minh OH vuông góc với mặt phẳng (ACD) |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $left{ begin{array} {} BEbot CD \ {} ABbot CD \ end{array} right.Rightarrow CDbot (ABE)$
mà $CDsubset left( ADC right)Rightarrow left( ADC right)bot left( ABE right)$
Lại có: $left{ begin{array} {} DFbot BC \ {} DFbot AB \ end{array} right.Rightarrow DFbot (ABC)Rightarrow DFbot AC$
Mặt khác $DKbot ACRightarrow ACbot (DKF)Rightarrow (ACD)bot (DFK)$
b) Do $CDbot (ABE)Rightarrow CDbot AE$
Ta có : $left{ begin{array} {} (ACD)bot (ABE) \ {} (ACD)bot (DFK) \ {} OH=(ABE)cap (DFK) \ end{array} right.Rightarrow OHbot (ACD)$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và BD = a. Biết cạnh $SA=frac{asqrt{6}}{2}$và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:
a) $(SAC)bot (SBD)$ b) $(SCD)bot (SBC)$ |
Lời giải chi tiết
a) Do $SAbot (ABCD)Rightarrow SAbot BD$
Mặt khác ABCD là hình thoi nên $ACbot BD$
Do đó $BDbot (SAC)Rightarrow (SBD)bot (SAC)$
b) Dựng $OHbot SC$
Do $BDbot (SAC)Rightarrow BDbot SC$
Suy ra $SCbot (DHB)$
Như vậy $widehat{DHB}$là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)
Tam giác ABD đều cạnh a nên $AO=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow AC=asqrt{3}$
Dựng $AKbot SCRightarrow AK=frac{SA.OC}{sqrt{S{{A}^{2}}+O{{C}^{2}}}}=aRightarrow OH=frac{AK}{2}=frac{a}{2}$
Tam giác DHB có đường trung tuyến$HO=frac{1}{2}BD=frac{a}{2}Rightarrow Delta DHB$ vuông tại H hay $widehat{DHB}={{90}^{circ }}$
Do đó $(SCD)bot (SBC)$
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a, $AD=asqrt{2}$, SA = a và $SAbot (ABCD)$. Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng $(SAC)bot (SMB)$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $tan widehat{CAD}=frac{CD}{AD}=frac{a}{asqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}$
Mặt khác $tan widehat{AMB}=frac{AB}{AM}=frac{a}{frac{asqrt{2}}{2}}=sqrt{2}$
Do $tan widehat{CAD}=cot widehat{AMB}Rightarrow widehat{CAD}+widehat{AMB}={{90}^{circ }}$
Suy ra $widehat{AIM}={{90}^{circ }}Rightarrow ACbot BM$tại I
Mặt khác $SAbot (ABCD)Rightarrow SAbot BM$
Do đó $BMbot (SAC)Rightarrow (SMB)bot (SAC)$
| Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Biết $SA=SB=asqrt{2}$
a) Chứng minh rằng $SHbot left( ABCD right)$ b) Chứng minh tam giác SBC vuông. c) Chứng minh $(SAD)bot (SAB);(SAD)bot (SBC).$ |
Lời giải chi tiết
a) Do ∆SAB cân tại S nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra $SHbot AB$
Mặt khác $left{ begin{array} {} (SAB)bot (ABCD) \ {} AB=(SAB)bot (ABCD) \ end{array} right.Rightarrow SHbot (ABCD)$
b) Do $SHbot (ABCD)Rightarrow SHbot BC$
Mặt khác $BCbot ABRightarrow BCbot (SAB)Rightarrow Delta SBC$vuông tại B.
c) Tương tự câu b ta chứng minh được $ADbot (SAB)$ suy ra $(SAD)bot (SAB)$
Mặt khác $S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}Rightarrow Delta SAB$vuông tại S $Rightarrow SAbot SB$
Lại có: $ADbot (SAB)Rightarrow ADbot SBRightarrow SBbot (SAD)Rightarrow (SBC)bot (SAD)$
| Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD.
a) Chứng minh $(SAD)bot (SAB)$ b) Chứng minh $AMbot BP$ và $(SBP)bot (AMN)$ |
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là trung điểm của AD
Do ∆SAD cân tại S nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra $SHbot AD$
Mặt khác $left{ begin{array} {} (SAD)bot (ABCD) \ {} AD=(SAD)bot (ABCD) \ end{array} right.Rightarrow SHbot (ABCD)$
Khi đó $left{ begin{array} {} SHbot AB \ {} ABbot AD \ end{array} right.Rightarrow ABbot (SAD)Rightarrow (SAB)bot (SAD)$
b) Ta có: $left{ begin{array} {} MN//SC \ {} AN//HC \ end{array} right.Rightarrow (AMN)//(SHC)$
Dễ thấy $tanwidehat{BPC}=2;tan widehat{HCD}=frac{1}{2}Rightarrow widehat{BPC}+widehat{HCD}={{90}^{circ }}Rightarrow HCbot BP$
Mặt khác $SHbot BPRightarrow BPbot (SHC)$
Mà $(AMN)//(SHC)Rightarrow BPbot (AMN)Rightarrow left{ begin{array} {} (SBP)bot (AMN) \ {} BPbot AM \ end{array} right.$
| Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, $SAbot (ABCD)$
a) Chứng minh $(SAC)bot (SBD)$ b) Chứng minh $(SAD)bot (SCD)$ c) Gọi BE và DF là đường cao trong tam giác SBD. Chứng minh rằng $(ACF)bot (SBC);(AEF)bot (SAC)$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ABCD là hình vuông nên $ACbot BD$
Mặt khác $SAbot (ABCD)Rightarrow SAbot BD$
Do đó $BDbot (SAC)Rightarrow (SBD)bot (SAC)$
b) Ta có : $left{ begin{array} {} ADbot AB \ {} ADbot SA \ end{array} right.Rightarrow ADbot (SAB)$
Do đó $(SAD)bot (SAB)$
c) Ta có : $ADbot (SAB)Rightarrow ADbot SB$
Mặt khác $DFbot SBRightarrow (ADF)bot SBRightarrow AFbot SB$
Lại có : $left{ begin{array} {} BCbot AB \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SAB)Rightarrow BCbot AF$
Do đó $AFbot (SBC)Rightarrow (ACF)bot (SBC)$
Dễ thấy tam giác SBD cân tại S có 2 đường cao BE và DF nên EF//BD
Mặt khác $BDbot (SAC)$(Chứng minh ở câu a) suy ra $EFbot (SAC)Rightarrow (text{AEF)}bot (SAC)$
Cách khác: Ta có $AFbot (SBC)Rightarrow AFbot SC$
Chứng minh tương tự ta cũng có: $AEbot SC$ suy ra $SCbot (AEF)Rightarrow (SAC)bot (AEF)$
| Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC).
a) Chứng minh $(ABB’)bot (ACC’)$ b) Gọi AH, AK là các đường cao của ∆ABC và ∆AB’C’. Chứng minh (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK). |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $CC’bot (ABC)Rightarrow CC’bot AB$
Mặt khác $ABbot ACRightarrow ABbot (ACC’)Rightarrow (ABB’)bot (ACC’)$
b) Do $AHbot BC,BB’bot (ABC)Rightarrow BB’bot AH$
Suy ra $AHbot (BCC’B’)Rightarrow (AHK)bot (BCC’B’)$
Mặt khác $AHbot (BCC’B’)Rightarrow AHbot B’C’$
Lại có: $AKbot B’C’Rightarrow B’C’bot (AHK)Rightarrow (AHK)bot (AB’C’)$
| Bài tập 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a; BC = $asqrt{3}$, cạnh bên CC’ = 2a. Điểm M là trung điểm của cạnh AA’.
a) Chứng minh $(ABB’A’)bot (BCC’B’)$ và $BMbot C’M$ b) Tính cosin góc giữa mặt phẳng (BMC’) và mặt đáy (ABC) |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên $BB’bot AB$
Mặt khác ∆ABC là tam giác vuông tại B nên $ABbot BC$
Do đó $ABbot (BCC’B’)Rightarrow (ABB’A’)bot (BCC’B’)$
$begin{array} {} BM=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}}=asqrt{2};BC’=sqrt{B{{C}^{2}}+CC{{‘}^{2}}}=asqrt{7}; \ {} C’M=sqrt{A’C{{‘}^{2}}+A'{{M}^{2}}}=asqrt{5} \ end{array}$
Do $C'{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}=BC{{‘}^{2}}Rightarrow Delta BMC’$ vuông tại M hay $BMbot C’M$
b) Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$
Diện tích tam giác MBC’: ${{S}_{MBC’}}=frac{1}{2}MB.MC’=frac{asqrt{10}}{2}$
Gọi φ là góc giữa mặt phẳng (BMC’) và mặt đáy (ABC)
Do ∆ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác MB’C’ trên mặt phẳng (ABC) nên:
${{S}_{ABC}}={{S}_{MBC’}}cosvarphi Rightarrow cosvarphi =frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{MBC’}}}=sqrt{frac{3}{10}}$