Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung hai đường chéo nhau.
– Đường thẳng $Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
– Đường thẳng vuông góc chung $Delta $ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi $left( beta right)$ là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên $Rightarrow CDbot (SHC)Rightarrow oversetfrown{SCH}={{60}^{circ }}$.
Vì $a//left( beta right)$ nên $a//a’$. Gọi $N=a’cap b$ và $left( alpha right)$ là mặt phẳng chứa a và a’. Dựng đường thẳng $Delta $ qua N và vuông góc chung và MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
Nhận xét:
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Phương pháp Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc bên khối chóp trong trường hợp $dbot SC$.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC
Mặt khác: $left{ begin{array} {} SCbot d \ {} SHbot d \ end{array} right.Rightarrow dbot left( SHC right)$
Gọi $M=dcap HC$, dựng $MKbot SC$ khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng $HEbot SC$ khi đó $frac{MK}{HE}=frac{MC}{HC}Rightarrow MK=frac{MC}{HC}.HE$
Xét tam giác vuông SHC ta có: $frac{1}{H{{E}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{C}^{2}}}Rightarrow HE=MK=dleft( d;SC right)$
Bài tập tính khoảng cách giữa 2 đường thăng vuông góc với nhau và chéo nhau
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và $SAbot (ABCD)$. Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc $60{}^circ $
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD b) Tính khoảng cách giữa BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $AC=asqrt{2}$. Do $SAbot left( ABCD right)$ và SC tạo với đáy góc $60{}^circ $ nên $widehat{SCA}=60{}^circ $
Khi đó $SA=ACtan 60{}^circ =asqrt{6}$
Do $left{ begin{array} {} ABbot AD \ {} ABbot SA \ end{array} right.Rightarrow ABbot (SAD)$
Dựng $AHbot SD$ suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Ta có: $frac{SA.AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=frac{asqrt{42}}{7}$
b) Ta có: $BDbot SC$ tại O và $BDbot SA$$Rightarrow BDbot left( SAC right)$
Dựng $OKbot SC$$Rightarrow OKbot BD$ nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Do đó $dleft( BD;SC right)=OK=OCsin widehat{OCK}=frac{asqrt{2}}{2}sin 60{}^circ =frac{asqrt{6}}{4}$
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là $h=asqrt{3}$. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $left{ begin{array} {} CIbot AB \ {} SHbot AB \ end{array} right.Rightarrow ABbot (SIC)$
Dựng $IFbot SC$ khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng $HEbot SC$ ta có: $HE=frac{1}{2}IF$
Lại có $CI=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow CH=frac{asqrt{3}}{4}$
Khi đó $HE=frac{SH.HC}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}}=frac{asqrt{51}}{17}Rightarrow IF=frac{2asqrt{51}}{17}$
| Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và $SAbot left( ABCD right)$. Biết mặt phẳng $left( SBC right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD. b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC. |
Lời giải chi tiết
a) Do:$left{ begin{array} {} BCbot AB \ {} BCbot SA \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SAB)Rightarrow BCbot SBRightarrow BC$ là đoạn vuông góc chung của SB và CD.
Ta có: $dleft( SB;CD right)=BC=a$
c) Mặt khác $BCbot left( SAB right)$
Do đó $widehat{left( left( SBC right);left( ABCD right) right)}=widehat{SBA}=60{}^circ $
Suy ra $SA=ABtan 60{}^circ =asqrt{3}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có $left{ begin{array} {} BDbot AC \ {} BDbot SA \ end{array} right.Rightarrow BDbot (SAC)$
Dựng $OMbot SC$ khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC
Ta có $Delta CASsim Delta CMOleft( g-g right)Rightarrow frac{SC}{CO}=frac{SA}{MO}Rightarrow OM=frac{SA.OC}{SC}=frac{asqrt{3}.frac{asqrt{2}}{2}}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{2sqrt{5}}=frac{asqrt{30}}{10}$
Cách 2: Dựng $ANbot SCRightarrow OM=frac{1}{2}AN$. Mặt khác $frac{1}{A{{N}^{2}}}=frac{1}{S{{A}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}Rightarrow AN=frac{asqrt{30}}{5}$
Khi đó $d=OM=frac{1}{2}AN=frac{asqrt{30}}{10}$
| Bài tập 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của BC khi đó $SHbot BC$
Mặt khác $(SBC)bot (ABC)$ do đó $SHbot (ABC)$
Ta có: $SH=frac{asqrt{3}}{2}$ và $AB=AC=frac{a}{sqrt{2}};AH=frac{BC}{2}=frac{a}{2}$
Do $left{ begin{array} {} BCbot AH \ {} BCbot SH \ end{array} right.Rightarrow BCbot (SHA)$. Dựng $HKbot SA$ khi đó
HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
Lại có: $HK=frac{SH.AH}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{4}$
| Bài tập 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C. |
Lời giải chi tiết
Dựng $CIbot ABRightarrow I$ là trung điểm của AB.
Ta có: $(B’GI)bot ABRightarrow oversetfrown{B’IG}={{60}^{circ }}$
Lại có: $CI=frac{1}{2}AB=frac{3asqrt{2}}{2}Rightarrow GI=frac{asqrt{2}}{2}$
$Rightarrow B’G=GItan {{60}^{circ }}=frac{asqrt{6}}{2}$
Dựng $IHbot B’CRightarrow d(AB;B’C)=IH=frac{B’G.CI}{B’C}$
Ta có: $B’C=sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}=frac{asqrt{14}}{2}Rightarrow IH=frac{3asqrt{42}}{14}$
Do đó $d(AB;B’C)=IH=frac{3asqrt{42}}{14}$
Hoặc dựng : $GK//IHRightarrow IH=frac{3}{2}GK=frac{3}{2}.frac{B’G.GC}{sqrt{B'{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}}}$