Bài tập tính Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy có đáp án chi tiết
Phương pháp giải bài tập tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Giả sử hình chóp S.ABC có mặt phẳng $(SAB)bot (ABC)$. Ta dựng $SHbot AB$(trong trường hợp $Delta SAB$cân tại S thì H là trung điểm của AB).
Khi đó $left{ begin{array} {} (SAB)bot (ABC) \ {} SHbot AB \ {} AB=left( SAB right)cap left( ABC right) \ end{array} right.Rightarrow SHbot left( ABC right)$.
Bài tập trắc nghiệm tính thể tích có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB=$asqrt{3}$, BC= a. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{o}}$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$. B. $frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$ . D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AC ta có $SHbot AC$
Mặt khác $left( SAC right)bot left( ABC right)$suy ra $SHbot left( ABC right)$ Dựng $HEbot AB$ khi đó HE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó: $HE=frac{BC}{2}=frac{a}{2}$ Mặt khác: $left{ begin{array} {} ABbot HE \ {} ABbot SH \ end{array} right.Rightarrow ABbot (SHE)Rightarrow widehat{SEH}=60{}^circ $. |
 |
Do đó $SH=HE.tan 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{2},{{S}_{ABC}}=frac{AB.BC}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$$Rightarrow $ ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}}{4}$. Chọn B.
| Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có AB= AC= 2a và BC= $2asqrt{3}$, gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $frac{asqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $frac{{{a}^{3}}}{6}$. B. $frac{3{{a}^{3}}}{2}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$ . D.$frac{{{a}^{3}}}{2}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AM ta có $SHbot AM$
Mặt khác $left( SAM right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$ Ta có: $BM=MC=asqrt{3}Rightarrow AM=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=a$ $Rightarrow {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AM.BC={{a}^{2}}sqrt{3}$. Dựng $HKbot SMRightarrow HKbot left( SBC right)$. Khi đó $dleft( A;left( SBC right) right)=2dleft( H;left( SBC right) right)=2HK$ $Rightarrow HK=frac{asqrt{3}}{4}Rightarrow frac{1}{S{{H}^{2}}}=frac{1}{H{{K}^{2}}}-frac{1}{H{{M}^{2}}}Rightarrow SH=frac{asqrt{3}}{2}$. ${{S}_{ABC}}={{a}^{2}}sqrt{3}.$Do đó ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}}{2}$. Chọn D. |
 |
Bài tập 3: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA=$asqrt{6}$, SB= $asqrt{3}$ và AC=$2a$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
|
Lời giải chi tiết:
| Dựng $SHbot AB$. Mặt khác $left( SAB right)bot left( ABC right)$ suy ra $SHbot left( ABC right)$. Ta có: $AB=sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=3a$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có: $HA=frac{S{{A}^{2}}}{AB}=2a$
$Rightarrow SH=sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=asqrt{2},{{S}_{ABC}}=frac{AB.AC}{2}=3{{a}^{2}}$. Khi đó ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}={{a}^{3}}sqrt{2}$.Chọn A. |
 |
| Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SAB là tam giác đều cạnh $asqrt{3}$, BC= $asqrt{3}$,đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc $60{}^circ $. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:
A.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{3}$. B. $2{{a}^{3}}sqrt{6}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{2}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có $widehat{SC;left( ABC right)}=widehat{left( SC;AC right)}=widehat{SCA}=60{}^circ $.
Gọi H là trung điểm của AB mà $Delta ABC$ cân $Rightarrow BHbot left( SAC right)$.
Gọi K là trung điểm của SA mà $Delta SAB$ đều $Rightarrow BKbot SA$
Suy ra $SAbot left( BHK right)Rightarrow SAbot HK$ mà $HKparallel SCRightarrow SAbot SC$ .
Tam giác SAC vuông tại S, có $widehat{SCA}=60{}^circ Rightarrow SC=SH=frac{AC}{2}=a$.
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}.AB.AC=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{2}$.
Tam giác ABH vuông tại H, có $BH=sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=asqrt{2}$ Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=frac{1}{3}.BH.{{S}_{Delta ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$. Chọn D.
| Bài tập 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Biết khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) là h. Thể tích khối chóp tính theo h là:
A. $frac{{{h}^{3}}sqrt{3}}{3}$. B. $frac{{{h}^{3}}sqrt{3}}{9}$. C. $frac{{{h}^{3}}sqrt{3}}{27}$. D.$frac{{{h}^{3}}sqrt{3}}{18}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AC ta có $SHbot AC$
Mặt khác $left( SAC right)bot left( ABC right)$ nên $SHbot left( ABC right)$ Khi đó SH= $h$. Mặt khác $widehat{SBH}=60{}^circ $ Do vậy $HBtan 60{}^circ =hRightarrow HB=frac{h}{sqrt{3}}$. |
 |
Đặt AB=$aRightarrow HB=frac{asqrt{3}}{2}=frac{h}{sqrt{3}}Rightarrow a=frac{2h}{3}$. Do đó ${{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}=frac{{{h}^{2}}sqrt{3}}{9}Rightarrow $ ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{h}^{3}}sqrt{3}}{27}$. Chọn C.
| Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA=$frac{a}{sqrt{2}}$, thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{4}$. B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}$. C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{18}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{24}$. |
Lời giải chi tiết:
| Dựng $SHbot AM$ta có $left( SAM right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$
Mặt khác $AM=frac{asqrt{3}}{2}$ Suy ra $SM=sqrt{A{{M}^{2}}-S{{A}^{2}}}=frac{a}{2}$ Lại có: $SH=frac{SA.SM}{sqrt{S{{A}^{2}}+S{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{6}}$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{24}$. Chọn D. |
 |
| Bài tập 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAB đều cạnh $2a$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc $30{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $frac{4{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$. B. $frac{2{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$. C. $frac{4{{a}^{3}}sqrt{6}}{6}$. D.$frac{4{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AB ta có $SHbot AB$.
Mặt khác $left( SAB right)bot left( ABC right)$ nên $SHbot left( ABC right),SH=asqrt{3}$. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc $30{}^circ $ Do đó $HCtan 30{}^circ =SHRightarrow HC=3a$. Khi đó $BC=sqrt{H{{C}^{2}}-H{{B}^{2}}}=2asqrt{2}$ Do vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{4{{a}^{3}}sqrt{6}}{3}$.Chọn A.
|
 |
| Bài tập 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng đáy. Biết rằng SA= 3 và SB= 4, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $frac{16sqrt{3}}{15}$. B. $frac{4sqrt{3}}{5}$. C. $frac{16}{5}$. D.$frac{16sqrt{3}}{5}$. |
Lời giải chi tiết:
| Dựng $SHbot AB$ ta có $left( SAB right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$. Mặt khác $AB=sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=5$
Khi đó: $SH=frac{SA.SB}{sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}}=frac{12}{5}$. Dựng $HKbot CD$ ta có: $left{ begin{array} {} CDbot SH \ {} CDbot HK \ end{array} right.Rightarrow CDbot left( SHK right)$ Do đó $widehat{SKH}=60{}^circ Rightarrow HKtan 60{}^circ =SH$ $Rightarrow HK=AD=frac{SH}{tan 60{}^circ }=frac{4sqrt{3}}{5}$ Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{16sqrt{3}}{5}$. Chọn D. |
 |
| Bài tập 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD có AC= $2a$, BD=$2asqrt{3}$. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) bằng $frac{2asqrt{15}}{5}$.Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.$2{{a}^{3}}sqrt{15}$ . B. $4{{a}^{3}}$. C. $2{{a}^{3}}sqrt{2}$. D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AC ta có $SHbot AC$. Mặt khác $left( SAC right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$. Ta có:$DB=2HB$
Do vậy $dleft( D;left( SAB right) right)=2dleft( H;left( SAB right) right)$ Dựng $HEbot AB$; $HFbot SE$. Khi đó $HF=dleft( H;left( SAB right) right)=frac{1}{2}dleft( D;left( SAB right) right)=frac{asqrt{15}}{5}$. Lại có: $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{H{{E}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}$ |
 |
Mặt khác $begin{array} {} frac{1}{H{{E}^{2}}}=frac{1}{H{{A}^{2}}}+frac{1}{H{{B}^{2}}}=frac{4}{3{{a}^{2}}}Rightarrow frac{1}{S{{H}^{2}}}=frac{1}{H{{F}^{2}}}-frac{1}{H{{E}^{2}}}=frac{1}{3{{a}^{2}}}Rightarrow S{{H}^{{}}}=asqrt{3} \ {} \ end{array}$
${{S}_{ABCD}}=frac{AC.BD}{2}=2{{a}^{2}}sqrt{3}Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=2{{a}^{3}}$. Chọn D.
| Bài tập 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB= BC=$2a$, AD= $3a$. Tam giác SAB cân tại A và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Đường thẳng SM tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $frac{25{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. B. $frac{25{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$. C.$frac{5{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}$ . D.$frac{5{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AB ta có $SHbot AB$.
Mặt khác $left( SAB right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$. Do $widehat{SM;left( ABCD right)}=60{}^circ Rightarrow widehat{SMH}=60{}^circ $ Lại có $HM=frac{AD+BC}{2}=frac{5a}{2}$ $Rightarrow SH=HMtan widehat{SMH}=HMtan 60{}^circ =frac{5asqrt{3}}{2}$ Ta có ${{S}_{ABCD}}=frac{AD+BC}{2}.AB=5{{a}^{2}}$. ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{25{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}$. Chọn A. |
 |
| Bài tập 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và B có AB= $asqrt{3}$, AD= $3a$, BC=$a$. Tam giác SBD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SA tạo với đáy một góc. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $6{{a}^{3}}$. B. $frac{2{{a}^{3}}}{3}$. C. $frac{3{{a}^{3}}}{2}$. D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của BD ta có $SHbot BD$. Mặt khác $left( SBD right)bot left( ABC right)$ nên $SHbot left( ABC right)$
Lại có $BD=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2asqrt{3}$ $Rightarrow AH=frac{1}{2}BD=asqrt{3}$. Do SA tạo với đáy góc $45{}^circ Rightarrow widehat{SAH}=45{}^circ Rightarrow SH=asqrt{3}$ |
 |
Mặt khác ${{S}_{ABCD}}=frac{AD+BC}{2}.AB=2{{a}^{2}}sqrt{3}Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=2{{a}^{3}}$.Chọn D.
| Bài tập 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều đường kính AD= $2a$. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng $frac{asqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $frac{3{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$. B.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$ . C. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{2}$. D.$frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{4}$. |
Lời giải chi tiết:
| Gọi H là trung điểm của AD ta có $SHbot AD$.
Mặt khác $left( SAD right)bot left( ABC right)$nên $SHbot left( ABC right)$. Do $AD=2HDRightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=2dleft( H;left( SCD right) right)$. Dựng $HEbot CD,HFbot SE$ $Rightarrow dleft( H;left( SCD right) right)=HF=frac{1}{2}dleft( A;left( SCD right) right)=frac{asqrt{3}}{4}$. Mặt khác HCD là tam giác đều cạnh $a$ nên E là trung điểm của CD và HE=$frac{asqrt{3}}{2}$ Suy ra $SH=frac{a}{2}$ $Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=frac{1}{3}SH.3{{S}_{HCD}}=frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}$. Chọn B. |
 |