Các dạng bài tập về khoảng cách trong không gian – 1 điểm đến mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng

1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ và điểm ${{M}_{o}}({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})$ khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

$dleft( M;(P) right)=frac{left| A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}} right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$

Mặt phẳng $(Q)//(P)$ và có phương trình $(Q):Ax+By+Cz+E=0$

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q). Ta thấy điểm $Hleft( 0;0;frac{-D}{C} right)in (P)$ suy ra:

$dleft( (P);(Q) right)=dleft( H;(Q) right)=frac{left| C.frac{-D}{C}+E right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}=frac{left| D-E right|}{sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức khoảng cách từ điểm ${{M}_{1}}$ đến đường thẳng $Delta $ (đi qua điểm ${{M}_{o}}$ và có vecto chỉ phương $overrightarrow{u}$) là $dleft( {{M}_{1}};Delta right)=frac{left| left[ overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{0}}};overrightarrow{u} right] right|}{left| overrightarrow{u} right|}$

Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm ${{M}_{1}}$ trên đường thẳng $Delta $ và khi đó $dleft( {{M}_{1}};Delta right)={{M}_{1}}H.$

4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ (đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có vecto chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}}$) và đường thẳng ${{d}_{2}}$ (đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có vecto chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{2}}}$) là:

$dleft( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)=frac{left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} right|}{left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right] right|}$

Ngoài cách làm trên ta có thể tính $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})$ như sau:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$ Khi đó (P) xác định, đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có một vecto pháp tuyến là $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right].$ Khi đó $dleft( {{d}_{1}};{{d}_{2}} right)=dleft( {{d}_{1}};(P) right)=dleft( {{M}_{1}};(P) right).$

Bài tập trắc nghiệm khoảng cách trong không gian oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(2;0;0),,B(0;-1;0),,C(0;0;3).$ Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) bằng

A. $frac{7}{6}.$ B. $frac{36}{49}.$ C. $frac{49}{36}.$ D. $frac{6}{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $(ABC):frac{x}{2}-frac{y}{1}+frac{z}{3}=1$ hay $(ABC):2x-6y+2z-6=0$

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(ABC)$ là: $d:frac{left| 3.0-6.0+2.0-6 right|}{sqrt{{{3}^{2}}+{{(-6)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=frac{6}{7}$

Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(P):6x-3y+2z-6=0.$ Tính khoảng cách từ d từ điểm $M(1;-2;3)$ đến mặt phẳng (P).

A. $d=frac{12sqrt{85}}{85}.$ B. $d=frac{sqrt{31}}{7}.$ C. $frac{18}{7}.$ D. $frac{12}{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $d=frac{left| 6.1+3.2+2.3-6 right|}{sqrt{{{6}^{2}}+9+4}}=frac{12}{7}.$

Bài tập 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm $A(1;3;2);,B(3;-1;5)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0.$ Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M. Tính tỷ số $frac{AM}{BM}.$

A. $frac{AM}{BM}=frac{1}{2}.$ B. $frac{AM}{BM}=frac{1}{3}.$ C. $frac{AM}{BM}=3.$ D. $frac{AM}{BM}=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $frac{AM}{BM}=frac{d(A;(P))}{d(B;(P)}=frac{left| 1-6+4-3 right|}{left| 3+2+10-3 right|}=frac{1}{3}.$

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x+2y+z+6=0.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.

A. $M(0;0;3).$ B. $M(0;0;21).$

C. $M(0;0;-15).$ D. $M(0;0;3)$ hoặc $M(0;0;-15).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Gọi $M(0;0;t),,,(t>0)$ thuộc tia Oz (phần có cao độ lớn hơn 0) ta có:

$d(M;(P))=frac{left| t+6 right|}{sqrt{4+4+1}}=3Leftrightarrow left| t+6 right|=9xrightarrow{t>0}t=3.$

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0.$ Tìm tọa độ điểm M thuộc tia Oy sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.

A. $M(0;-6;0),$ B. $M(0;-3;0).$ C. $M(0;6;0).$ D. $M(0;3;0).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi $M(0;t;0),(t>0)$ (Do M thuộc tia Oy)

Lại có $d(M;(P))=frac{left| 2t+3 right|}{sqrt{4+4+1}}=3Leftrightarrow left| 2t+3 right|=9Leftrightarrow left[ begin{align} & t=3 \ & t=-6,(l) \ end{align} right.$

Vậy $M(0;3;0).$

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 1. B. 3. C. 9. D. 6.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A(0;0;-3)in (P)Rightarrow dleft( (P);(Q) right)=dleft( A;(Q) right)=frac{left| 0+2.0-2(-3)-3 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3.$

Bài tập 7: Cho mặt phẳng $(P):2x-2z-z+1=0$ và đường thẳng $Delta :frac{z-1}{2}=frac{y+2}{1}=frac{z-1}{2}.$ Tính khoảng cách d giữa $Delta $ và (P)

A. $d=frac{1}{3}.$ B. $d=frac{5}{3}.$ C. $d=frac{2}{3}.$ D. $d=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Do $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}.overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=4-2-2=0Rightarrow Delta //(P)$

Lấy điểm $A(1;-2;1)in Delta $ ta có: $dleft( Delta ;(P) right)=dleft( A;(P) right)=frac{left| 2+4-1+1 right|}{sqrt{4+1+1}}=frac{6}{3}=2.$

Bài tập 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-6=0$ và $(Q):x+2y-2z+3=0.$ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 1. B. 3. C. 9. D. 6.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Lấy điểm $A(0;0;-3)in (P)Rightarrow dleft( (P);(Q) right)=dleft( A;(Q) right)=frac{left| 0+2.0-2(-3)+3 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3.$

Bài tập 9: Cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-1=0.$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua $M(1;0;-2)$ song song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 là:

A. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$

B. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$

C. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$

D. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Ta có phương trình mặt phằng (Q) có dạng: $x-2y+2z+D=0$

Khi đó $dleft( (P);(Q) right)=frac{left| D+1 right|}{sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2Rightarrow left| D+1 right|=6Leftrightarrow left[ begin{align} & D=5 \ & D=-7 \ end{align} right.$

Bài tập 10: Cho 4 điểm $A(2;2;3);B(0;1;0);,C(1;2;1);,D(3;1;5).$ Phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường thẳng AB và CD là:

A. $14x+4y-8z+3=0.$ B. $14x-4y-8z+1=0.$ C. $14x-4y-8z-3=0.$ D. $14x-4y-8z+3=0.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Ta có: $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=left[ overrightarrow{AB};overrightarrow{CD} right]=(-7;2;4)$ suy ra $(P):7x-2y-4z+D=0$

Mặt khác $dleft( A;(P) right)=dleft( C;(P) right)Leftrightarrow left| D-2 right|=left| D-1 right|Leftrightarrow D=frac{3}{2}.$

Vậy $(P):14x-4y-8z+3=0.$

Bài tập 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) $M(2;3;1);,d:frac{x+2}{1}=frac{y-1}{2}=frac{z+1}{-2}$

b) $M(1;0;0);,d:frac{x-3}{1}=frac{y-3}{2}=frac{z-1}{1}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $A(-2;1;-1)in dRightarrow overrightarrow{AM}=(4;2;2);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(1;2;-2)Rightarrow left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right]=(-8;10;6)$

Do đó $d(M;d)=frac{left| left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=frac{sqrt{64+100+36}}{sqrt{9}}=frac{10sqrt{2}}{3}.$

b) Ta có: $A(3;3;1)in dRightarrow overrightarrow{AM}(-2;-3;-1);overrightarrow{{{u}_{d}}}(1;2;1)Rightarrow left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right]=(-1;1;-1)$

Do đó $d(M;d)=frac{left| left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}=frac{sqrt{2}}{2}.$

Bài tập 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ${{d}_{1}}:left{ begin{align} & x=2-3t \ & y=2t \ & z=4-2t \ end{align} right.$ và ${{d}_{2}}:frac{x-1}{3}=frac{y-2}{1}=frac{z+1}{2}$

b) ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y}{-2}=frac{z+1}{2}$ và ${{d}_{2}}:frac{x-2}{2}=frac{y-3}{-4}=frac{z-1}{-5}$

Lời giải chi tiết

a)Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(2;0;4)$ và có VTCP: $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(-3;2;-2)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;2;-1)$ và có VTCP: $overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;1;2)$

Gọi (P) là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]=(6;0;-9)=3(2;0;-3)$

Suy ra $(P):2x-3z+8=0Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=frac{left| 13 right|}{sqrt{13}}=sqrt{13}.$

Cách 2: Ta có: $d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=frac{left| left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]overrightarrow{AB} right|}{left[ overrightarrow{{{u}_{1}}};overrightarrow{{{u}_{2}}} right]}=frac{left| (6;0;-9).(-1;2;-5) right|}{sqrt{36+81}}=sqrt{13}.$

b) Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;0;-1)$ và có VTCP $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;-2;2)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(2;3;1)$ và có VTCP: $overrightarrow{{{u}_{2}}}=(2;-4;-5)$

Suy ra $(P):2x+y-2=0Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=d({{d}_{2}};(P))=d(B;(P))=sqrt{5}$

Bài tập 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $(d):frac{x-1}{2}=frac{y+1}{1}=frac{z-2}{1}$ và điểm $M(-3;1;2).$ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

A. $sqrt{14}.$ B. $sqrt{6}.$ C. $2sqrt{5}.$ D. $2sqrt{7}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Ta có: $A(1;-1;2)in dRightarrow overrightarrow{AM}=(-4;2;0);overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;1)Rightarrow left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right]=(2;4;-8)$

Do đó $d(M;d)=frac{left| left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=frac{sqrt{4+16+64}}{sqrt{6}}=sqrt{14}.$

Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{2}=frac{z-3}{3}$ và ${{d}_{2}}:frac{x-1}{-1}=frac{y}{1}=frac{z-1}{1}$ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$

A. $sqrt{26}.$ B. $frac{sqrt{13}}{13}.$ C. $frac{sqrt{26}}{13}.$ D. $2sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A(1;2;3)$ và có VTCP: $overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;3)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B(1;0;1)$ và có VTCP: $overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-1;1;1)$

Suy ra $(P):x+4y-3z=0Rightarrow d({{d}_{1}};{{d}_{2}})=dleft( {{d}_{2}}(P) right)=d(B;(P))=frac{left| -2 right|}{sqrt{1+16+9}}=frac{2}{sqrt{26}}=frac{sqrt{26}}{13}.$

Bài tập 15: Cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z=0$ và đường thẳng $d:frac{x-1}{1}=frac{y}{2}=frac{z+2}{2}.$ Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và (P) là

A. $A(-3;0;0).$ B. $A(3;0;0).$ C. $A(3;3;0).$ D. $A(3;0;3).$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $A(t;0;0)$ suy ra $d(A;(P))=frac{2left| t right|}{3};d(A;d)=frac{left| left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right] right|}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}$ trong đó $M(1;0;-2)$

Suy ra $d(A;d)=frac{left[ overrightarrow{AM};overrightarrow{{{u}_{d}}} right]}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}=frac{sqrt{16+{{(2t-4)}^{2}}+{{(2-2t)}^{2}}}}{3}=frac{2left| t right|}{3}$

$Leftrightarrow 36-24t+4{{t}^{2}}=0Leftrightarrow t=3.$ ..

Link Hoc va de thi 2021