Câu hỏi:
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị của (y = f’left( {3 – 2x} right)) như hình vẽ sau:
Cóbao nhiêu giá trị nguyên của tham số (m in left[ { – 2021;2021} right]) để hàm số (gleft( x right) = fleft( {left| {{x^3} + 2021x} right| + m} right)) có ít nhất (5) điểm cực trị?
A. (2019.)
B. (2020.)
C. (2021.)
D. (2022.)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Vì (gleft( x right) = fleft( {left| {{x^3} + 2021x} right| + m} right)) là hàm số chẵn nên số điểm cực trị của (gleft( x right)) bằng (2) lần số cực trị dương của (fleft( {{x^3} + 2021x + m} right)) cộng với (1.)
Với (x > 0,) ta có (gleft( x right) = fleft( {{x^3} + 2021x + m} right);) (g’left( x right) = left( {3{x^2} + 2021} right)f’left( {{x^3} + 2021x + m} right).)
Đặt (x = 3 – 2t) ta có (t = frac{{3 – x}}{2}) và (f’left( x right) = f’left( {3 – 2t} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = pm 2\t = 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 7\x = 1\x = – 1end{array} right..)
Suy ra (g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x^3} + 2021x + m = 7\{x^3} + 2021x + m = 1\{x^3} + 2021x + m = – 1end{array} right.) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x^3} + 2021x = 7 – m & (1)\{x^3} + 2021x = 1 – m & (2)\{x^3} + 2021x = – 1 – m & (3)end{array} right..)
Hàm số (gleft( x right)) có ít nhất (5) điểm cực trị khi và chỉ khi có ít nhất (2) trong (3) phương trình ((1),) ((2),) ((3)) có nghiệm dương.
Xét hàm số (hleft( x right) = {x^3} + 2021x) có (h’left( x right) = 3{x^2} + 2021).
Ta có BBT của (hleft( x right)) như sau:
Vì (7 – m > 1 – m > – 1 – m) nên ta có (1 – m > 0 Leftrightarrow m < 1.)
Mà (m in left[ { – 2021;2021} right] cap mathbb{Z}) nên (m in left{ { – 2021;…;0} right}.)
Vậy có (2022) giá trị nguyên (m) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======