I. Công thức tích phân từng phần
(intlimits_a^b {udv} = left. {left( {uv} right)} right|_a^b – intlimits_a^b {vdu} )
Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_1^2 {ln tdt} .$
Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = ln t\dv = dtend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dt}}{t}\v = tend{array} right.$.
Khi đó $I = tln tleft| {_{scriptstyleatopscriptstyle1}^{scriptstyle2atopscriptstyle}} right. – intlimits_1^2 {dt} = tln tleft| {_{scriptstyleatopscriptstyle1}^{scriptstyle2atopscriptstyle}} right. – tleft| {_{scriptstyleatopscriptstyle1}^{scriptstyle2atopscriptstyle}} right. = 2ln 2 – 1.$
II. Tích phân có chứa hàm số logarit
Tính tích phân (intlimits_m^n {fleft( x right)ln left( {ax + b} right)dx} ) (trong đó (fleft( x right)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = ln left( {ax + b} right)\dv = fleft( x right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{a}{{ {ax + b} }}dx\v = int {fleft( x right)dx} end{array} right.)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n {fleft( x right)ln left( {ax + b} right)dx} = left. {uv} right|_m^n – intlimits_m^n {vdu} )
Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_1^e {xln x{rm{d}}x.} $
Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = ln x\dv = xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dfrac{{dx}}{x}\v = dfrac{{{x^2}}}{2}end{array} right.$
Khi đó $I = dfrac{{{x^2}ln x}}{2}left| begin{array}{l}^e\_1end{array} right. – dfrac{1}{2}intlimits_1^e x = dfrac{{{e^2}}}{2} – dfrac{{{x^2}}}{4}left| begin{array}{l}^e\_1end{array} right. = dfrac{{{e^2} + 1}}{4}$
III. Tích phân có chứa hàm số mũ
Tính tích phân (intlimits_m^n {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} ). (trong đó (fleft( x right)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = {e^{ax + b}}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}end{array} right.)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} = left. {uv} right|_m^n – intlimits_m^n {vdu} )
Ví dụ: Tính (I = intlimits_0^1 {left( {2x + 3} right){e^x}{rm{d}}x} )
Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = 2x + 3\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = 2dx\v = {e^x}end{array} right.$
Khi đó $I = left. {left( {2x + 3} right){e^x}} right|_0^1 – intlimits_0^1 {2{e^x}dx} = left. {left( {2x + 3} right){e^x}} right|_0^1 – left. {2{e^x}} right|_0^1 = 3e – 1.$
IV. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức
Tính tích phân (intlimits_m^n {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} ) hoặc (intlimits_m^n {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} ). (trong đó (fleft( x right)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = sin left( {ax + b} right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = – dfrac{1}{a}cos left( {ax + b} right)end{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = fleft( x right)\dv = cos left( {ax + b} right)dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = f’left( x right)dx\v = dfrac{1}{a}sin left( {ax + b} right)end{array} right.)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} = left. {uv} right|_m^n – intlimits_m^n {vdu} ) hoặc (intlimits_m^n {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} = left. {uv} right|_m^n – intlimits_m^n {vdu} )
Ví dụ: Tính tích phân $I = intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {xsin 2x{rm{d}}x} $
Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = x\dv = sin 2xdxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = dx\v = – dfrac{{cos 2x}}{2}end{array} right..$
Khi đó $I = – dfrac{{xcos 2x}}{2}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. + dfrac{1}{2}intlimits_0^{dfrac{pi }{4}} {cos 2xdx} = – dfrac{{xcos 2x}}{2}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. + dfrac{{sin 2x}}{4}left| {_{scriptstyleatopscriptstyle0}^{dfrac{pi }{4}}} right. = dfrac{1}{4}.$
V. Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ
Tính tích phân (intlimits_m^n {{e^{ax + b}}sin left( {cx + d} right)dx} ) hoặc (intlimits_m^n {{e^{ax + b}}cos left( {cx + d} right)dx} ).
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = sin left( {cx + d} right)dxend{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = cos left( {cx + d} right)dxend{array} right.)
– Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n {udv} = left. {uv} right|_m^n – intlimits_m^n {vdu} )
Ví dụ: Tính $K = intlimits_0^pi {{e^x}cos 2x{rm{d}}x} $
Giải: Đặt $left{ begin{array}{l}u = cos 2x\dv = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}du = – 2sin 2xdx\v = {e^x}end{array} right.$
Suy ra $K = left( {{e^x}cos 2x} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}{^pi }\{_0}end{array}} right. + 2intlimits_0^pi {{e^x}sin 2xdx} = {e^pi } – 1 + 2M$
Tính $M = intlimits_0^pi {{e^x}sin 2xdx} $
Ta đặt $left{ begin{array}{l}{u_1} = sin 2x\d{v_1} = {e^x}dxend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}d{u_1} = 2cos 2x\{v_1} = {e^x}end{array} right.$
Suy ra $M = left( {{e^x}sin 2x} right)left| {begin{array}{*{20}{c}}{^pi }\{_0}end{array}} right. – 2intlimits_0^pi {{e^x}cos 2x} = – 2K$
Khi đó $K = {e^pi } – 1 + 2left( { – 2K} right) Leftrightarrow 5K = {e^pi } – 1 Leftrightarrow K = dfrac{{{e^pi } – 1}}{5}$
– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.
– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = sin left( {cx + d} right)dxend{array} right.) hoặc (left{ begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\dv = cos left( {cx + d} right)dxend{array} right.)