Cho số phức (z=a+bileft( a,bin mathbb{R} right)) thỏa mãn (left| z right|=5) và (zleft( 2+i right)left( 1-2i right)) là một số thực. Tính (P=left| a right|+left| b right|).

Ta có

(zleft( 2+i right)left( 1-2i right)=left( a+bi right)left( 4-3i right)=4a+3b+left( -3a+4b right)i.text{  }left( 1 right))

Do (zleft( 2+i right)left( 1-2i right)) là một số thực nên từ (left( 1 right)) suy ra (-3a+4b=0Leftrightarrow b=frac{3}{4}a.text{        }left( 2 right))

Mặt khác (left| z right|=5Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25.text{        }left( 3 right))

Thế (left( 2 right)) vào (left( 3 right)) ta được phương trình

({{a}^{2}}+{{left( frac{3}{4}a right)}^{2}}=25Leftrightarrow {{a}^{2}}=16Leftrightarrow a=pm 4.)

Với (a=4Rightarrow b=3) và (a=-4Rightarrow b=-3.)

Vậy (P=left| a right|+left| b right|=3+4=7.)