Có bao nhiêu (m) nguyên (min left[ -2021;2021 right]) để phương trình ({{6}^{x}}-2m={{log }_{sqrt[3]{6}}}left( 18left( x+1 right)+12m right)) có nghiệm?

Phương trình ({{6}^{x}}-2m={{log }_{sqrt[3]{6}}}left( 18left( x+1 right)+12m right)Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3{{log }_{6}}left[ 6left( 3x+2m+3 right) right])

(begin{align}

& Leftrightarrow {{6}^{x}}=2m+3left[ 1+{{log }_{6}}left( 3x+2m+3 right) right] \

& Leftrightarrow {{6}^{x}}=3{{log }_{6}}left( 3x+2m+3 right)+2m+3,,,left( * right) \

end{align})

Đặt (y={{log }_{6}}left( 3x+2m+3 right)Leftrightarrow {{6}^{y}}=3x+2m+3,,left( 1 right))

Mặt khác, PT(*) trở thành: ({{6}^{x}}=3y+2m+3,,left( 2 right))

Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được

({{6}^{y}}-{{6}^{x}}=3x-3yLeftrightarrow {{6}^{x}}+3x={{6}^{y}}+3y,,,,left( 3 right))

Xét hàm số (fleft( t right)={{6}^{t}}+3t,,,tin mathbb{R}.)

Ta có (f’left( t right)={{6}^{t}}ln 6+3>0,,forall tin mathbb{R}.) Suy ra hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên (mathbb{R})

Mà PT (3) (fleft( x right)=fleft( y right)Leftrightarrow x=y.)

Thay (y=x) vào PT (1), ta được ({{6}^{x}}=3x+2m+3Leftrightarrow {{6}^{x}}-3x=2m+3).

Xét hàm số (gleft( x right)={{6}^{x}}-3x), với (xin mathbb{R}). Ta có (g’left( x right)={{6}^{x}}ln 6-3Rightarrow g’left( x right)=0Leftrightarrow x={{log }_{6}}left( frac{3}{ln 6} right))

BBT:

Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm (Leftrightarrow 2m+3ge gleft( {{log }_{6}}frac{3}{ln 6} right)approx 0,81Rightarrow mge -1,095)

Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.