Cho hàm số (fleft( x right) > 0) với mọi (x in R), (fleft( 0 right) = 1) và (fleft( x right) = sqrt {x + 1} f’left( x right)) với mọi (x in R). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Theo bài ra ta có: (fleft( x right) = sqrt {x + 1} f’left( x right)) (*).
Do (fleft( x right) > 0,,forall x in R) nên từ (*) ta có (frac{{f’left( x right)}}{{fleft( x right)}} = frac{1}{{sqrt {x + 1} }}).
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: (intlimits_{}^{} {frac{{f’left( x right)}}{{fleft( x right)}}dx} = intlimits_{}^{} {frac{1}{{sqrt {x + 1} }}dx} )
( Leftrightarrow ln left| {fleft( x right)} right|dx = 2sqrt {x + 1} + C Leftrightarrow ln fleft( x right) = 2sqrt {x + 1} + C Leftrightarrow fleft( x right) = {e^{2sqrt {x + 1} + C}})
Ta có (fleft( 0 right) = 1 Rightarrow 1 = {e^{2 + C}} Leftrightarrow 2 + C = 0 Leftrightarrow C = – 2).
Do đó (fleft( x right) = {e^{2sqrt {x + 1} – 2}} Rightarrow fleft( 3 right) = {e^2} approx 7,4 > 6).