.JPG)
Dựng hình bình hành (ABCD).
Gọi O là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng (left( {ABCD} right)) (left( {O in left( {ABCD} right)} right))
Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC và AD lần lượt tại H và K.
Khi đó ta có (HM bot BC;,HM bot AD;,SO bot BC;SO bot AD) (do (SO bot left( {ABCD} right)))
suy ra (BC bot left( {SHM} right);AD bot left( {SHM} right))
Trong (left( {SHM} right)) kẻ (MN bot SH) tại (N) và (HK bot SM) tại (K.)
Ta có (MN bot SH) và (MN bot BC) (do (BC bot left( {SHM} right))) nên (MN bot left( {SBC} right)) tại (N Rightarrow dleft( {M;left( {SBC} right)} right) = MN)
Vì (AD//BC Rightarrow AD//left( {SBC} right);,M in AD Rightarrow dleft( {A;left( {SBC} right)} right) = dleft( {M;left( {SBC} right)} right) = MN = dfrac{{asqrt {15} }}{5})
Tương tự ta có (HK bot left( {SAD} right)) tại (K Rightarrow dleft( {H;left( {SAD} right)} right) = HK)
Vì (BC//AD Rightarrow BC//left( {SAD} right);H in BC Rightarrow dleft( {BC;SA} right) = dleft( {BC;left( {SAD} right)} right) = dleft( {H;left( {SAD} right)} right) = HK = dfrac{{asqrt {15} }}{5})
Xét tam giác (SHM) có hai đường cao bằng nhau (MN = HK) nên tam giác (SHM) cân tại S. Lại có (SO bot MN Rightarrow O) là trung điểm của (MN.)
Ta có ({S_{ABCD}} = MH.BC = 2{S_{ABC}} Leftrightarrow MH.a = 2.dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{4} Rightarrow MH = dfrac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow OM = dfrac{{MH}}{2} = dfrac{{asqrt 3 }}{4})
Xét tam giác (MKH) vuông tại (K Rightarrow MK = sqrt {M{H^2} – H{K^2}} = sqrt {dfrac{{3{a^2}}}{4} – dfrac{{15{a^2}}}{{25}}} = dfrac{{asqrt 3 }}{{2sqrt 5 }})
Ta có (Delta MKH) dồng dạng với (Delta MOS)(g-g) nên (dfrac{{KH}}{{SO}} = dfrac{{MK}}{{MO}} Rightarrow SO = dfrac{{MO.HK}}{{MK}} = dfrac{{dfrac{{asqrt 3 }}{4}.dfrac{{asqrt {15} }}{5}}}{{dfrac{{asqrt 3 }}{{2sqrt 5 }}}} = dfrac{{asqrt 3 }}{2})
Khi đó thể tích ({V_{S.ABC}} = dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = dfrac{1}{3}.dfrac{{asqrt 3 }}{2}.dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{4} = dfrac{{{a^3}}}{8})
Chọn B.