Giải bài tập Bài 2: Hàm số bậc hai (Chân trời)
================
Giải bài 1 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
a) (y = 9{x^2} + 5x + 4)
b) (y = 3{x^3} + 2x + 1)
c) (y = – 4{(x + 2)^2} + 2(2{x^3} + 1) + x + 4)
d) (y = 5{x^2} + sqrt x + 2)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
Hai số bậc hai (biến x) có dạng (y = f(x) = a{x^2} + bx + c) với (a,b,c in mathbb{R})và (a ne 0)
Lời giải chi tiết
Hàm số ở câu a) (y = 9{x^2} + 5x + 4) là hàm số bậc hai với (a = 9,b = 5,c = 4)
Hàm số ở câu b), c) không phải là hàm số bậc hai vì chứa ({x^3})
Hàm số ở câu d) (y = 5{x^2} + sqrt x + 2) không phải là hàm số bậc hai vì chứa (sqrt x )
===============
Giải bài 2 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:
a) (y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3)
b) (y = (m – 2){x^3} + (m – 1){x^2} + 5)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Hai số bậc hai (biến x) có dạng (y = f(x) = a{x^2} + bx + c) với (a,b,c in mathbb{R})và (a ne 0)
Điều kiện: Bậc hai, hệ số a khác 0.
Lời giải chi tiết
a) Để hàm số (y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3) là hàm số bậc hai thì:
(left{ begin{array}{l}m = 0\m + 1 ne 0end{array} right.) tức là (m = 0.)
Khi đó (y = {x^2} + x + 3)
Vây (m = 0) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai (y = {x^2} + x + 3)
b) Để hàm số (y = (m – 2){x^3} + (m – 1){x^2} + 5) là hàm số bậc hai thì:
(left{ begin{array}{l}m – 2 = 0\m – 1 ne 0end{array} right.) tức là (m = 2.)
Khi đó (y = (2 – 1){x^2} + 5 = {x^2} + 5)
Vây (m = 2) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai (y = {x^2} + 5)
============
Giải bài 3 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Lập bảng biến thiên của hàm số (y = {x^2} + 2x + 3.) Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Với (a = 1 > 0), hàm số có bảng biến thiên dạng:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng (f( – frac{b}{{2a}})) tại (x = – frac{b}{{2a}}.)
Lời giải chi tiết
Đỉnh S có tọa độ: ({x_S} = dfrac{{ – b}}{{2a}} = dfrac{{ – 2}}{{2.1}} = – 1;,{y_S} = {left( { – 1} right)^2} + 2.( – 1) + 3 = 2.)
Hay (Sleft( { – 1;2} right).)
Vì hàm số bậc hai có (a = 1 > 0) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng (2).
============
Giải bài 4 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Cho hàm số bậc hai (y = f(x) = a{x^2} + bx + c) có (f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5.)
a) Hãy xác định giá trị của các hệ số (a,b) và (c.)
b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
a) (f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1), từ đó suy ra c.
Tương tự, sử dụng giả thiết (f(1) = 2,f(2) = 5,)lập hệ phương trình 2 ẩn a, b.
b) Tập giá trị (T = { f(x)|x in D} ) với D là tập xác định của hàm số (f(x).)
Với (a = 1 > 0):
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ; – frac{b}{{2a}}} right)) và đồng biến trên khoảng (left( { – frac{b}{{2a}}; + infty } right))
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1 Rightarrow c = 1.)
Lại có:
(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = 2 Rightarrow a + b + 1 = 2)
(f(2) = a{.2^2} + b.2 + c = 5 Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5)
Từ đó ta có hệ phương trình (left{ begin{array}{l}a + b + 1 = 2\4a + 2b + 1 = 5end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a + b = 1\4a + 2b = 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1\b = 0end{array} right.)(thỏa mãn điều kiện (a ne 0))
Vậy hàm số bậc hai đó là (y = f(x) = {x^2} + 1)
b) Tập giá trị (T = { {x^2} + 1|x in mathbb{R}} )
Vì ({x^2} + 1 ge 1;forall x in mathbb{R}) nên (T = [1; + infty ))
Đỉnh S có tọa độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 0}}{{2.1}} = 0;{y_S} = f(0) = 1)
Hay (Sleft( {0;1} right).)
Vì hàm số bậc hai có (a = 1 > 0) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( { – infty ;0} right)) và đồng biến trên khoảng (left( {0; + infty } right))
=============
Giải bài 5 trang 56 SGK Toán 10 CTST – CTST
Cho hàm số (y = 2{x^2} + x + m). Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Đỉnh S có tọa độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}};{y_S} = f(frac{{ – b}}{{2a}}))
(a = 2 > 0) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng (f( – frac{b}{{2a}})) tại (x = – frac{b}{{2a}}.)
=> Tìm m để (f( – frac{b}{{2a}}) = 5)
Lời giải chi tiết
Đỉnh S có tọa độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 1}}{{2.2}} = – frac{1}{4};{y_S} = f( – frac{1}{4}) = 2{left( { – frac{1}{4}} right)^2} + left( { – frac{1}{4}} right) + m = m – frac{1}{8})
Ta có: (a = 2 > 0), hàm số có bảng biến thiên dạng:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng (m – frac{1}{8} = 5 Leftrightarrow m = frac{{41}}{8}.)
Vậy (m = frac{{41}}{8}) thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.
===============
Giải bài 6 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) (y = 2{x^2} + 4x – 1)
b) (y = – {x^2} + 2x + 3)
c) (y = – 3{x^2} + 6x)
d) (y = 2{x^2} – 5)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
+ Xác định đỉnh (S(frac{{ – b}}{{2a}};f(frac{{ – b}}{{2a}})))
+ Trục đối xứng (x = frac{{ – b}}{{2a}})
+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0)
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).
Lời giải chi tiết
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai (y = 2{x^2} + 4x – 1) là một parabol (P):
+ Có đỉnh S với hoành độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 4}}{{2.2}} = – 1;{y_S} = 2.{( – 1)^2} + 4.( – 1) – 1 = – 3.)
+ Có trục đối xứng là đường thẳng (x = – 1) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
+ Bề lõm quay lên trên vì (a = 2 > 0)
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).
Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai (y = – {x^2} + 2x + 3) là một parabol (P):
+ Có đỉnh S với hoành độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 2}}{{2.( – 1)}} = 1;{y_S} = – {1^2} + 2.1 + 3 = 4.)
+ Có trục đối xứng là đường thẳng (x = 1) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
+ Bề lõm quay xuống dưới vì (a = – 1 < 0)
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai (y = – 3{x^2} + 6x) là một parabol (P):
+ Có đỉnh S với hoành độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 6}}{{2.( – 3)}} = 1;{y_S} = – {3.1^2} + 6.1 = 3)
+ Có trục đối xứng là đường thẳng (x = 1) (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
+ Bề lõm quay xuống dưới vì (a = – 3 < 0)
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 0, tức là đồ thị đi qua gốc tọa độ (0; 0).
Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.
d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai (y = 2{x^2} – 5) là một parabol (P):
+ Có đỉnh S với hoành độ: ({x_S} = frac{{ – b}}{{2a}} = frac{{ – 0}}{{2.2}} = 0;{y_S} = {2.0^2} – 5 = – 5.)
+ Có trục đối xứng là đường thẳng (x = 0) (trùng với trục Oy);
+ Bề lõm quay lên trên vì (a = 2 > 0)
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -5).
Ta vẽ được đồ thị như hình dưới.
===========
Giải bài 7 trang 56 SGK Toán 10 CTST
Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.
(begin{array}{l}({P_1}):y = – 2{x^2} – 4x + 2;\({P_2}):y = 3{x^2} – 6x + 5;\({P_3}):y = 4{x^2} – 8x + 7;\({P_4}):y = – 3{x^2} – 6x – 1.end{array})
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
+ Xác định tọa độ giao điểm với trục tung: điểm có tọa độ (0; c).
Lời giải chi tiết
Vì 4 đồ thị hàm số cắt trục tung tại 4 điểm phân biệt nên ta chỉ cần xác định tọa độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung là có thể phân biệt 4 đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số (({P_1}):y = – 2{x^2} – 4x + 2) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) => Đồ thị là đường màu xanh lá.
Đồ thị hàm số (({P_2}):y = 3{x^2} – 6x + 5;) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5) => Đồ thị là đường màu xanh dương.
Đồ thị hàm số (({P_3}):y = 4{x^2} – 8x + 7;) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7) => Đồ thị là đường màu nâu đỏ.
Đồ thị hàm số (({P_4}):y = – 3{x^2} – 6x – 1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) => Đồ thị là đường màu vàng.
==========
Giải bài 8 trang 57 SGK Toán 10 CTST
Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 8
Phương pháp giải
Gọi công thức của hàm số bậc hai là (y = a{x^2} + bx + c)
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có tọa độ (-1;0), (4;0), (0;-4)
Lời giải chi tiết
Gọi công thức của hàm số bậc hai là (y = a{x^2} + bx + c)
Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có tọa độ (-1;0), (4;0), (0;-4)
(begin{array}{l} Rightarrow left{ begin{array}{l}a.{( – 1)^2} + b.( – 1) + c = 0\a{.4^2} + b.4 + c = 0\a{.0^2} + b.0 + c = – 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a – b + c = 0\16a + 4b + c = 0\c = – 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a – b = 4\16a + 4b = 4\c = – 4end{array} right.\ Leftrightarrow a = 1,b = – 3,c = – 4.end{array})
Vậy hàm số cần tìm có công thức (y = {x^2} – 3x – 4)
=============
Giải bài 9 trang 57 SGK Toán 10 CTST
Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.
Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:
– Dây dài nhất là 5 m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.
– Nhịp cầu dài 30 m.
– Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 9
Phương pháp giải
Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu.
Xác định hàm số và xác định tung độ của điểm có hoành độ là hình chiếu của các dây cáp dọc.
Lời giải chi tiết
Gọi (y = a{x^2} + bx + c) là công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:
Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.
Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.
Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: (30:20 = 1,5left( m right))
Khi đó: ({x_0} = 0;{x_1} = 1,5;;{x_2} = 3;;{x_3} = 4,5;;…;{x_n} = 1,5.n;)
Dễ thấy: các điểm có tọa độ (0; 5), (({x_{10}};0,8)), (({x_{20}};5)) thuộc đồ thị hàm số.
(Trong đó: ({x_{10}} = 10.1,5 = 15;;{x_{20}} = 20.1,5 = 30.))
Suy ra:
(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 5 Leftrightarrow c = 5)
Và (f(1) = a{.10^2} + b.10 + c = 0,8 Leftrightarrow 100a + 10b + 5 = 0,8)
(f(2) = a{.30^2} + b.30 + c = 5 Leftrightarrow 900a + 30b + 5 = 5)
Giải hệ phương trình (left{ begin{array}{l}100a + 10b + 5 = 0,8\900a + 30b + 5 = 5end{array} right.) ta được (a = frac{{21}}{{1000}};b = – frac{{63}}{{100}})
Như vậy (y = frac{{21}}{{1000}}{x^2} – frac{{63}}{{100}}x + 5)
Gọi ({y_0},{y_1},{y_2},..{y_{20}}) là tung độ của các điểm có hoành độ lần lượt là ({x_0},{x_1},{x_2},..{x_{20}})
Ta có:
(begin{array}{l}{y_0} = 5\{y_1} = frac{{21}}{{1000}}.1,{5^2} – frac{{63}}{{100}}.1,5 + 5\{y_2} = frac{{21}}{{1000}}.{(2.1,5)^2} – frac{{63}}{{100}}.(2.1,5) + 5 = {2^2}.frac{{21}}{{1000}}.1,{5^2} – 2.frac{{63}}{{100}}.1,5 + 5\…\{y_n} = frac{{21}}{{1000}}.{(n.1,5)^2} – frac{{63}}{{100}}.(2.1,5) + 5 = {n^2}.frac{{21}}{{1000}}.1,{5^2} – n.frac{{63}}{{100}}.1,5 + 5\ Rightarrow T = {y_0} + {y_1} + {y_2} + .. + {y_{20}} = 5 + frac{{21}}{{1000}}.1,{5^2}.(1 + {2^2} + … + {20^2}) – frac{{63}}{{100}}.1,5.(1 + 2 + … + 20) + 5.20end{array})
Mà (1 + {2^2} + … + {20^2} = 2870;;1 + 2 + … + 20 = 210)
( Rightarrow T = 5 + frac{{21}}{{1000}}.1,{5^2}.2870 – frac{{63}}{{100}}.1,5.210 + 5.20 approx 42,16(m))
Tổng chiều dài của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là: (42,16.2 = 84,32(m))
Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là 84,32m.