Chọn C
.PNG)
+ Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\), \(I\) là trung điểm của \(CD\), vẽ \(OH\bot SI\) tại \(H\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều \(\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)\)
+ Do \(ABCD\) là hình vuông\(\Rightarrow OI\bot CD\) (1)
\(SO\bot \left( ABCD \right)\)\(\Rightarrow SO\bot CD\) (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right)\), \(OH\subset \left( SOI \right)\Rightarrow OH\bot CD\).
+ Ta có
\(\left\{ \begin{align}
& OH\bot SI \\
& OH\bot CD \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O,\,\left( SCD \right) \right)=OH\).
+ Lại có \(AO\cap \left( SCD \right)=C\Rightarrow \frac{d\left( A,\left( SCD \right) \right)}{d\left( O,\left( SCD \right) \right)}=\frac{CA}{CO}=2\)\(\Rightarrow d\left( A,\,\left( SCD \right) \right)=2d\left( O,\,\left( SCD \right) \right)=2OH\)
+ Tính \(OH?\)
Ta có \(OI=\frac{AD}{2}=a\).
\(AC=2a\sqrt{2}\Rightarrow OC=a\sqrt{2}\)
\(SO=\sqrt{S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}\)
Xét tam giác vuông \(SOI\) ta có: \(OH=\frac{OS.OI}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}.a}{\sqrt{7{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{14}}{4}\)
\(\Rightarrow d\left( A,\,\left( SCD \right) \right)=2OH=\frac{a\sqrt{14}}{2}\).