Cho tam giác nhọn (ABC ) hai đường cao (AD ) và (BE ) cắt nhau tại (H ). Biết HD:HA = 1:2 Tính tan B.tan C

Ta có: (begin{array}{l} tan B = frac{{AD}}{{BD}};tan C = frac{{AD}}{{CD}}\ to tan B.tan C = frac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}(1) end{array})

( widehat {HBD} = widehat {CAD}) (cùng phụ với ( widehat {ACB})) ; ( widehat {HDB} = widehat {ADC} = {90^0})

Do đó ΔBDH∽ΔADC (g.g), suy ra 

(begin{array}{l} frac{{DH}}{{DC}} = frac{{BD}}{{AD}}\ to BD.DC = DH.AD (2) end{array})

Từ (1) và (2) suy ra ( tan B.tan C = frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = frac{{AD}}{{DH}}(3))

Theo giả thiết  (begin{array}{l} frac{{HD}}{{AH}} = frac{1}{2}\ to frac{{HD}}{{AH + HD}} = frac{1}{{2 + 1}} Leftrightarrow frac{{HD}}{{AD}} = frac{1}{3}\ to AD = 3HD end{array})

Thay vào (3) ta được: ( tan B.tan C = frac{{3HD}}{{DH}} = 3)