Tích phân – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 12: Tích phân

Bài 4.11 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) Ta có tích phân cần tính chính là diện tích của hình thang OABC, có đáy lớn AB = 7, đáy nhỏ CO = 1, đường cao OA = 3.

Do đó, $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = S_OABC = $\frac{1}{2}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{C}\mathrm{O}\right)\mathrm{O}\mathrm{A}=\frac{1}{2}$.(7 + 1).3 = 12.

b) Tích phân cần tích chính là diện tích của $\frac{1}{4}$ hình tròn có tâm tại gốc tọa độ O và bán kính R = 4 (phần nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ) như hình dưới đây.

Do đó, $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\sqrt{16-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{d}\mathrm{x}$= $\frac{1}{4}.\mathrm{\pi }{.4}^2$ = 4π.

Bài 4.12 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Cho $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=6$ và $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2$. Hãy tính:

a) $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left[2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+3\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left[2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left[2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+3\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $2\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+3\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = 2.6 + 3.2 = 18.

b) $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left[2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $2\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}-3\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                        = 2.6 – 3.2 = 6.

Bài 4.13 trang 12 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(1-2\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\mathrm{x}-2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(1-2\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-4\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                          = $\left(\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^2+\frac{4}{3}{\mathrm{x}}^3\right){|}_0^1$

                          = $\frac{1}{3}$.

b) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{\mathrm{x}-2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\sqrt{\mathrm{x}}-\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\sqrt{\mathrm{x}}-2.{\mathrm{x}}^{\frac{-1}{2}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\left(\frac{2}{3}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}-4\sqrt{\mathrm{x}}\right){|}_1^4$

                      = $\frac{2}{3}$.

Bài 4.14 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left|2\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left|2\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(1-2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left(2\mathrm{x}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                       = $\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(1-2\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left(2\mathrm{x}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

                       = $\left(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right){|}_0^{\frac{1}{2}}+\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right){|}_{\frac{1}{2}}^2$ = $\frac{5}{2}$.

b) $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|\mathrm{x}-1\right|\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\mathrm{x}-1\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                      = $\left(\mathrm{x}-\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2\right){|}_{-2}^1+\left(\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right){|}_1^3$

                      = 1² − $\frac{1}{2}$.1² – (−2) + $\frac{1}{2}$.(−2)² + $\frac{1}{2}$.3² – 3 − $\frac{1}{2}$.1² + 1.

                      = $\frac{13}{2}$.

Bài 4.15 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(3\cos \mathrm{x}+2\sin \mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}-\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(3\cos \mathrm{x}+2\sin \mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}3\cos \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}+\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}2\sin \mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                        = ${\left.3\sin \mathrm{x}\right|}_0^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}-{\left.2\cos \mathrm{x}\right|}_0^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}$

                                        = $3\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}-3\sin 0-2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\cos 0$

                                        = 5.

b) $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}-\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                                       = ${\left.\tan \mathrm{x}\right|}_{{}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}}^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}}-{\left.\cot \mathrm{x}\right|}_{{}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}}^{{}^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}}$

                                       = $\tan \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\tan \frac{\mathrm{\pi }}{6}-\cot \frac{\mathrm{\pi }}{4}+\cot \frac{\mathrm{\pi }}{6}$

                                       = 2 − $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Bài 4.16 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3^{\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right)}^2}{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$.

Lời giải:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3^{\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                            = ${\left.\frac{3^{\mathrm{x}}}{\ln 3}\right|}_0^1-{\left.2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right|}_0^1$

                             = $\frac{2}{\ln 3}-2\mathrm{e}+2$.

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right)}^2}{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

                          = $\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

                          = ${\left.\frac{1}{2}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-2\mathrm{x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\right|}_0^1$

                          =  $\frac{\mathrm{e}-2-{\mathrm{e}}^{-1}}{2}$.

Bài 4.17 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi

P'(x) = −0,0005x + 12,2.

a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị.

b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.

Lời giải:

a) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị là:

$\underset{100}{\overset{101}{\int }}{\mathrm{P}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{100}{\overset{101}{\int }}\left(-0,0005\mathrm{x}+12,2\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

= ${\left.\left(-0,0005.\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+12,2\mathrm{x}\right)\right|}_{100}^{101}$ = 12,14975.

b) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị là:

$\underset{100}{\overset{110}{\int }}{\mathrm{P}}^{‘}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\underset{100}{\overset{110}{\int }}\left(-0,0005\mathrm{x}+12,2\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

= ${\left.\left(-0,0005.\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+12,2\mathrm{x}\right)\right|}_{100}^{110}$ = 121,475.

Bài 4.18 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi c(t) = 0,005t² + 0,02t + 12,5 với 0 ≤ t ≤ 24, tính theo tháng.

Lời giải:

Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm là:

$\frac{1}{24}\underset{0}{\overset{24}{\int }}c\left(t\right)dt$ = $\frac{1}{24}\underset{0}{\overset{24}{\int }}\left(0,005t^2+0,02t+12,5\right)dt$

                     = ${\left.\frac{1}{24}\left(0,005\frac{t^3}{3}+0,01t^2+12,5t\right)\right|}_0^{24}$

                     = 13,7.

Bài 4.19 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm có thể được mô hình hóa bởi công thức C = 5 000$\left(25+3\underset{0}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}{\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$.

Tính tổng chi phí sau:

a) 1 năm;

b) 5 năm;

c) 10 năm.

Lời giải:

a) Tổng chi phí sau một năm là:

C = 5 000$\left(25+3\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$ = 5 000$\left(25+{\left.\frac{12}{5}{\mathrm{t}}^{\frac{5}{4}}\right|}_0^1\right)$ 

     = 5 000$\left(25+\frac{12}{5}-0\right)$ = 137 000.

b) Tổng chi phí sau 5 năm là:

C = 5 000$\left(25+3\underset{0}{\overset{5}{\int }}{\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$ = 5 000$\left(25+{\left.\frac{12}{5}{\mathrm{t}}^{\frac{5}{4}}\right|}_0^5\right)$ 

     = 5 000$\left(25+\frac{12}{5}{5}^{\frac{5}{4}}-0\right)$ ≈ 214 720,93.

c) Tổng chi phí sau 10 năm là:

C = 5 000$\left(25+3\underset{0}{\overset{10}{\int }}{\mathrm{t}}^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}\mathrm{t}\right)$ = 5 000$\left(25+{\left.\frac{12}{5}{\mathrm{t}}^{\frac{5}{4}}\right|}_0^{10}\right)$

    = 5 000$\left(25+\frac{12}{5}{10}^{\frac{5}{4}}-0\right)$ ≈ 338 393,53.

Bài 4.20 trang 13 SBT Toán 12 Tập 2: Vận tốc v của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức v(t) = 9,8t, trong đó vận tốc v tính bằng m/s và thời gian t tính bằng giây.

a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên dưới dạng tích phân.

b) Tìm quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

Lời giải:

a) Quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên là:

$\mathrm{S}=\underset{0}{\overset{\mathrm{T}}{\int }}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{d}\mathrm{t}=\underset{0}{\overset{\mathrm{T}}{\int }}9,8\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}$ (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là:

$\mathrm{S}=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{d}\mathrm{t}=\underset{0}{\overset{5}{\int }}9,8\mathrm{t}\mathrm{d}\mathrm{t}={\left.4,9{\mathrm{t}}^2\right|}_0^5=122,5$ (m).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Nguyên hàm

Bài 12: Tích phân

Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 14: Phương trình mặt phẳng

Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian