Bài tập cuối chương 4 – Học học nữa học mãi


Giải SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 4

A. Trắc nghiệm

Bài 1 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Biết rằng f'(x) = 8x3 – 4x + 2 và f(1) = 4. Hàm số f(x) là:

A. 2x4 – 2x2 + x + 4.

B. 2x4 – 2x2 + 2x + 2.

C. 8x4 – 4x2 + x.

D. 8x4 – 4x2 + x + 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: fx=fxdx=8x34x+2dx

                                       = 2x4 – 2x2 + 2x + C.

Mà f(1) = 4 suy ra 2.14 – 2.12 + 2. 1 + C = 4 hay C = 2

Vậy f(x) = 2x4 – 2x2 + 2x + 2.

Bài 2 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (0; 2) và f'(x) = cosx – sinx. Giá trị của f(π) là:

A. −1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, hàm số y = f(x) đi qua điểm (0; 2) hay f(0) = 2.

Ta có: fπf0=0πfxdx

                         =0πcosxsinxdx

                        =sinx+cosx0π=2

Suy ra f(π) = −2 + f(0) = −2 + 2 = 0.

Bài 3 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Phát biểu nào sau đây đúng?

A. 32xdx=9x.ln9+C.

B. 32xdx=9x2ln3+C.

C. 32xdx=3xln32+C.

D. 32xdx=32xln3+C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 32xdx=32xdx=9xdx

=9xln9+C=9x2ln3+C

Bài 4 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số fx=4x3. Giá trị của 13fxdx83fxdx bằng:

A. 45.

B. 80.

C. 15.

D. 183351

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 13fxdx83fxdx

         =13fxdx+38fxdx=18fxdx

Suy ra 18fxdx=184x3dx

          =418x13dx=3xx318

           = 48 – 3 = 45.

Bài 5 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn 01f2xdx=a01fxdx2. Giá trị của a là:

A. 2

B. 14.

C. 4

D. 12.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: 01f2xdx=013x12dx

          =019x26x+1dx

         =3x33x2+x01=1

01fxdx2=013x1dx2

=32x2x012=14

Nhận thấy 1 = 4. 14 hay 01f2xdx=401fxdx2

Vậy a = 4.

Bài 6 trang 23 SBT Toán 12 Tập 2: Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 1) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm (x; f(x)) là 1 – 4x. giá trị của f(3) là:

A. −12.

B. −13.

C. −15.

D. −30.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo đề ta có: f(1) = 1 và f'(x) = 1 – 4x.

Ta có: f3f1=13fxdx

=1314xdx

=x2x213=14

Suy ra f(3) = −14 + f(1) = −14 + 1 = −13.

Bài 7 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn 133x22fxdx=4; f1=2. Giá trị f(3) là:

A. 9.

B. 11.

C. −13.

D. 19.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

133x22fxdx=133x2dx213fxdx

=x3132fx13

= 26 – 2[f(3) − f(1)] = 4.

Mà f(1) = −2 nên 26 – 2[f(3) + 2] = 4 suy ra f(3) = 9.

Bài 8 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ex – 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = ln4 là:

A. 1.

B. 3.

C. 2ln2 – 1.

D. 3 – 4ln2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Bài 9 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho K là một khoảng trên ℝ; F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

a) Nếu F(x) = G(x) thì f(x) = g(x).

b) Nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) fxdx=Fx+C, C.

d) fxdx=Fx+C, C.

Lời giải:

a) Giả sử hàm F(x) = G(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Suy ra F'(x) = f(x) = 3ax2 + 2bx + c ; G'(x) = g(x) = 3ax2 + 2bx + c.

Do đó, nếu F(x) = g(x) thì f(x) = g(x).

b) Giả sử f(x) = g(x) = 3ax2 + 2bx + c.

Lúc này fxdx=Fx+C1, C1

Tồn tại trường hợp C1 ≠ C2 nên không thể khẳng định nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) fxdx=Fx+C, C. gxdx=Gx+C2, C2.

d) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K do đó F'(x) = f(x) và F”(x) = f'(x).

Do đó, fxdx=fx+C, C. Do đó d) sai.

Bài 10 trang 24 SBT Toán 12 Tập 2: Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.

Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x)

a) f(x) = 4 – 2x2.

b) S=22fxdx.

c) S=22fxdx.

d) S=163.

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

a.02+b.0+c=4a.22+b.2+c=0a.22+b.2+c=0

c=44a+2b=44a2b=4

a=1b=0c=4

Do đó y = f(x) = 4 – x2.

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

S=22fxdx

=224x2dx=224x2dx

=4xx3322=323

B. Tự luận

Bài 1 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x2 – 6x + 2. Tìm hàm số y = f(x), biết đồ thị của nó đi qua điểm (−1; 1).

Lời giải:

Theo đề bài, ta có: f(−1) = 1 và f'(x) = 3x2 – 6x + 2.

Ta có fx=3x26x+2dx= x3 – 3x2 + 2x + C.

Mà f(−1) = 1 nên (−1)3 – 3.(−1)2 + 2.(−1) + C = 1 hay C = 7.

Vậy f(x) = x3 – 3x2 + 2x + 7.

Bài 2 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tìm:

a) 3x1x22dx

b) 7xx31x3dx (x > 0).

c) 32x12dx

d) 23cos2x2dx

Lời giải:

a) Ta có: 3x1x22dx=9x26x+1x4dx

=9x2dx6xdx+1x4dx

=3x36lnx13x3+C

b) Ta có: 7xx31x3dx=7x43x32dx

=7.37x732x12+C

=3x2.x3+2x+C

c) Ta có: 

32x12dx=9x12dx=92x2.9x+1dx

=81x2.9x+1dx

=81xln812.9xln9+x+C

=34x4ln3+32xln3+x+C

d) Ta có:

23cos2x2dx=23.1+cosx2dx

=23232cosxdx

=1232cosxdx

=12x32sinx+C

Bài 3 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Tính:

a) 12x4+x3+x2+x+1x2dx

b) 12xex+1xdx

c) 018x+12x+1dx

d) π4π21+sin2x1cos2xdx

Lời giải:

a) Ta có: 12x4+x3+x2+x+1x2dx

=12x2+x+1+1x+1x2dx

=x33+x22+x+lnx1x12

=ln2+163.

b) Ta có: 12xex+1xdx=12ex+1xdx

=ex+lnx12

= e2 − e + ln2.

c) Ta có:

018x+12x+1dx=012x+14x2x+12x+1dx

=014x2x+1dx

=4xln42xln2+x01

=4ln42ln2+11ln4+1ln2

=1+12ln2

d) Ta có:

π4π21+sin2x1cos2xdx=π4π21+sin2xsin2xdx

=π4π21sin2x+1dx

=cotx+xπ4π2=1+π4

Bài 4 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính 05fxdx, biết rằng 03fxdx=4;15fxdx=6;13fxdx=3.

Lời giải:

Ta có: 35fxdx=15fxdx13fxdx = 6 – 3 = 3.

05fxdx=03fxdx+35fxdx = 4 + 3 = 7.

Vậy 05fxdx=7.

Bài 5 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ. Tính 11fxdx.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ

Lời giải:

Quan sát đồ thị, ta thấy f(1) = 2 và f(−1) = −1.

Ta có: 11fxdx=fx11

= f(1) – f(−1) = 2 – (−1) = 3.

Bài 6 trang 25 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm fx=43x2,x<11,x1.. Tính f(2) – f(0).

Lời giải:

Ta có: f(2) – f(0) = 02fxdx

=01fxdx+12fxdx

=0143x2dx+121dx

=4xx301+x12=4

Vậy f(2) – f(0) = 4.

Bài 7 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn 0;π2 và thỏa mãn 0π23cosx+2fxdx=5;f0=1. Tính giá trị fπ2.

Lời giải:

Ta có: 0π23cosx+2fxdx

=0π23cosxdx+0π22fxdx

=3sinx0π2+2fx0π2

=3+2fπ22f0=5

Mà f(0) = 1 suy ra 3+2fπ22=5 hay fπ2=3

Bài 8 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị y=x, trục hoành và đường thẳng x = 4. Đường thẳng x = a (0 < a < 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của a.

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị y = √x, trục hoành và đường thẳng x = 4

Lời giải:

Ta có: S=04xdx=04x12dx=23x304=163.

S1=0axdx=23x30a=23a3

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên 

S1=S223a3=83

a3=4

a3=16a=223

Bài 9 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 1 + x2, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục Ox.

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

V=π111+x22dx=π111+2x2+x4dx

=πx+23x3+x5511=56π15.

Bài 10 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột x (m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính 1x4(m) với 0 ≤ x ≤ 9. Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Lời giải:

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

V=π091x42dx

= π09112x+116xdx

=πx13xx+132x209=81π32

Vậy V=81π327,95 (m)

Bài 11 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v0 = 5 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi x = 3 m/s2

a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?

b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.

Lời giải:

a) Ta có:

Mà v(0) = v0 = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

s=05vtdt=053t+5dt=32t2+5t05 = 62,5 (m).

Bài 12 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N'(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5, trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.

a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.

Chứng tỏ rằng y'(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải:

a) Ta có: yt=lnNt

=NtNt=0,2NtNt=0,2.

Suy ra yt=ytdt=0,2dt=0,2t+C.

Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e0,2t + C = C0.e0,2 (với C0 = eC).

Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C0 = 2 000.

Do đó, N(t) = 2 000.e0,2t, 0 ≤ t ≤ 5.

b) Ta có: N(3) = 2 000. e0,2.3 ≈ 3 600 (cá thể).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài tập cuối chương 5



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ