DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
2. Cho (fleft( x right)) là hàm số bậc 4 thỏa mãn (fleft( 0 right) = 0). Hàm số (f’left( x right))bảng biến thiên như sau:
Hàm số (gleft( x right) = left| {fleft( {{x^{2021}}} right) – 2021x} right|) có bao nhiêu cực trị?
A. (3).
B. (5).
C. (4) .
D. (2)
Lời giải
Ta có (f'(x)) bậc ba có (2) điểm cực trị là (x = – 3,x = – 1) nên (f”(x) = a(x + 3)(x + 1).) Suy ra (f'(x) = a(frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x) + b). Từ BBT ta có
(left{ begin{array}{l}f'( – 3) = – 2021\f'( – 1) = – 2025end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}b = – 2021\frac{{ – 4}}{3}a + b = – 2025end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 3\b = – 2021end{array} right.)
Khi đó (f'(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x – 2021) Do đó (f'(0) = – 2021 < 0).
Đặt (h(x) = f({x^{2021}}) – 2021x) thì (h'(x) = 2021{x^{2020}}f'({x^{2021}}) – 2021) nên (h'(x) = 0 Leftrightarrow f'({x^{2021}}) = frac{1}{{{x^{2020}}}}) ((*))
Trên (( – infty ;0)) thì (f'(x) < 0) nên (f'({x^{2021}}) < 0,forall x < 0) còn (frac{1}{{{x^{2020}}}} > 0)(,forall x < 0) do đó ((*)) vô nghiệm trên (( – infty ;0)) và (h'(x) = 2021{x^{2020}}left[ {f'({x^{2021}}) – frac{1}{{{x^{2020}}}}} right] < 0,forall x < 0)
Xét (x > 0), từ BBT ta thấy (f'(x)) đồng biến còn ({left( {frac{1}{{{x^{2020}}}}} right)^prime } = frac{{ – 2020}}{{{x^{2021}}}} < 0,,forall x > 0) suy ra (frac{1}{{{x^{2020}}}}) nghịch biến (forall x > 0) nên ((*)) có không quá (1) nghiệm.
Lại có (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} (f'({x^{2021}}) – frac{1}{{{x^{2020}}}}) = – infty ) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } (f'({x^{2021}}) – frac{1}{{{x^{2020}}}}) = + infty ) nên ((*)) có đúng 1 nghiệm (x = c > 0.) Khi đó (h'(x)) đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Có (h'(x) < 0,forall x < 0) nên (h'(x) > 0,forall x > c)
Xét bảng biến thiên của (h(x)).
Vì (h(0) = f(0) – 2021.0 = f(0) = 0) nên (h(c) < 0) và phương trình (h(x) = 0) có hai nghiệm thực phân biệt, khác (c.) Từ đó (gleft( x right) = left| {h(x)} right|) sẽ có (3) điểm cực trị