Câu hỏi:
501. Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm liên tục trên (mathbb{R}). Hàm số (y = f’left( x right)) có đồ thị như hình sau đây
Hàm số (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – frac{1}{2}} right) – 2ln x) đồng biến trên khoảng
A. (left( {frac{4}{5};1} right)).
B. (left( {frac{6}{5};2} right)).
C. (left( {0;frac{1}{2}} right)).
D. (left( {frac{3}{5};frac{7}{{10}}} right)).
Lời giải
Xét hàm số (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – frac{1}{2}} right) – 2ln x) trên (left( {0; + infty } right)), ta có
(g’left( x right) = 2xf’left( {{x^2} – frac{1}{2}} right) – frac{2}{x},)
(g’left( x right) ge 0 Leftrightarrow 2xf’left( {{x^2} – frac{1}{2}} right) – frac{2}{x} ge 0 Leftrightarrow f’left( {{x^2} – frac{1}{2}} right) ge frac{1}{{{x^2}}}.)
Đặt (t = {x^2} – frac{1}{2}left( {t > – frac{1}{2}} right)), ta được (f’left( t right) ge frac{1}{{t + frac{1}{2}}} Leftrightarrow f’left( t right) ge frac{2}{{2t + 1}})
Ta vẽ trực tiếp đồ thị hàm số (y = frac{2}{{2x + 1}}) vào hình vẽ:
Từ đồ thị ta thấy
(f’left( x right) ge frac{2}{{2x + 1}} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{a le x < – frac{1}{2}}\{0 le x le frac{1}{2}}\{x ge frac{3}{2}}end{array}} right.). Suy ra (f’left( t right) ge frac{2}{{2t + 1}} Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{a le t < – frac{1}{2}left( {loai} right)}\{0 le t le frac{1}{2}}\{t ge frac{3}{2}}end{array}} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}0 le t le frac{1}{2}\t ge frac{3}{2}end{array} right..)
Với (0 le t le frac{1}{2}) ta có (0 le {x^2} – frac{1}{2} le frac{1}{2} Leftrightarrow frac{1}{2} le {x^2} le 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} – 1 le x le – frac{{sqrt 2 }}{2}\frac{{sqrt 2 }}{2} le x le 1end{array} right.).
Với (t ge frac{3}{2}) ta có ( Rightarrow {x^2} – frac{1}{2} ge frac{3}{2} Leftrightarrow {x^2} ge 2 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x ge sqrt 2 }\{x le – sqrt 2 }end{array}} right.).
Vậy (g’left( x right) ge 0 Leftrightarrow x in )(S = left( { – infty ; – sqrt 2 } right] cup left[ { – 1; – frac{{sqrt 2 }}{2}} right] cup left[ {frac{{sqrt 2 }}{2};1} right] cup left[ {sqrt 2 ; + infty } right)).
Tức là hàm số (gleft( x right)) đồng biến trên mỗi tập (left( { – infty ; – sqrt 2 } right],{rm{ }}left[ { – 1; – frac{{sqrt 2 }}{2}} right],{rm{ }}left[ {frac{{sqrt 2 }}{2};1} right],{rm{ }}left[ {sqrt 2 ; + infty } right)).
Vì (left( {frac{4}{5};1} right) subset left[ {frac{{sqrt 2 }}{2};1} right]).
=======