DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
6. Cho (y = fleft( x right)) là hàm bậc ba có (f’left( 0 right) = – 3). Hàm số (y = f’left( x right)) có bảng biến thiên sau
Hàm số (y = gleft( x right) = fleft( {{x^3} – 3x + m} right) – frac{{{x^6}}}{2} + 3{x^4} – {x^3} – frac{9}{2}{x^2} + 3x – 1) có bao nhiêu cực trị biết (m) là giá trị lớn nhất của (P = frac{{sqrt 3 sin x}}{{cos x + 2}}).
A. (10).
B. (9).
C. (7).
D. (8)
Lời giải
Từ bảng biến thiên (f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\{x = 1}end{array}} right. Rightarrow f’left( x right) = kleft( {x + 1} right)left( {x – 1} right)).
Mà (f’left( 0 right) = – 3 Rightarrow k = 3 Rightarrow f’left( x right) = 3left( {x – 1} right)left( {x + 1} right) = 3{x^2} – 3).
Theo bài ra (P = frac{{sqrt 3 sin x}}{{cos x + 2}} Rightarrow sqrt 3 sin x – Pcos x = 2P).
Điều kiện (P)có nghiệm là ({left( {2P} right)^2} le {P^2} + 3 Leftrightarrow – 1 le P le 1).Nên (m = 1).
Khi đó (y = gleft( x right) = fleft( {{x^3} – 3x + 1} right) – frac{{{x^6}}}{2} + 3{x^4} – {x^3} – frac{9}{2}{x^2} + 3x – 1).
Ta có:
(begin{array}{l}g’left( x right) = left( {3{x^2} – 3} right)f’left( {{x^3} – 3x + 1} right) – 3{x^5} + 12{x^3} – 3{x^2} – 9x + 3, = left( {3{x^2} – 3} right)left[ {f’left( {{x^3} – 3x + 1} right) – left( {{x^3} – 3x + 1} right)} right]\ Rightarrow g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = pm 1}\{f’left( {{x^3} – 3x + 1} right) = {x^3} – 3x + 1,,,left( 1 right)}end{array}} right.end{array})
Đặt ({x^3} – 3x + 1 = t) suy ra (left( 1 right) Leftrightarrow f’left( t right) = t, Leftrightarrow 3{t^2} – 3 = t Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{t = frac{{1 + sqrt {37} }}{6}}\{t = frac{{1 – sqrt {37} }}{6}}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x approx 1,76137}\{x approx – 0,0602}\{x approx – 1,7011}\{x approx 1,21796}\{x approx 0,76486}\{x approx – 1,9828}end{array}} right.).
Do đó (g’left( x right) = 0) có (8) nghiệm đơn.Vậy hàm số (y = gleft( x right)) có (8) cực trị.