Cho hai số phức ({z_1},{z_2}) thỏa mãn ({z_1} – {z_2} = 2 + 4i) và (left| {{z_1} + {z_2}} right| = sqrt {52} ). Giá trị lớn nhất của (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|) là
Cho hai số phức ({z_1},{z_2}) thỏa mãn ({z_1} – {z_2} = 2 + 4i) và (left| {{z_1} + {z_2}} right| = sqrt {52} ). Giá trị lớn nhất của (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|) là
A. (sqrt 6 ).
B. (sqrt {52} ).
C. (6sqrt 2 ).
D. (2sqrt 6 ).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử ({z_1} = a + bi),({z_2} = c + di) ( Rightarrow left{ begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = a + c + left( {b + d} right)i\{z_1} – {z_2} = a – c + left( {b – d} right)iend{array} right.).
( Rightarrow left{ begin{array}{l}left| {{z_1} + {z_2}} right| = sqrt {{{left( {a + c} right)}^2} + {{left( {b + d} right)}^2}} \left| {{z_1} – {z_2}} right| = sqrt {{{left( {a – c} right)}^2} + {{left( {b – d} right)}^2}} end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{left( {a + c} right)^2} + {left( {b + d} right)^2} = 52\{left( {a – c} right)^2} + {left( {b – d} right)^2} = 20end{array} right.).
( Rightarrow {left( {a + c} right)^2} + {left( {b + d} right)^2} + {left( {a – c} right)^2} + {left( {b – d} right)^2} = 72)( Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 36).
Mặt khác (T = left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} + sqrt {{c^2} + {d^2}} mathop le limits^{B.C.S} sqrt {left( {{1^2} + {1^2}} right)left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}} right)} = 6sqrt 2 .)
Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow )(left{ begin{array}{l}a – c = 2\b – d = 4\{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 36\{a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = c + 2\b = d + 4\{a^2} + {b^2} = 18\{c^2} + {d^2} = 18end{array} right.)
( Rightarrow a = frac{{5 – 2sqrt {65} }}{5};b = frac{{10 + sqrt {65} }}{5};c = frac{{ – 5 – 2sqrt {65} }}{5};d = frac{{ – 10 + sqrt {65} }}{5}).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Link Hoc va de thi 2021