DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho hàm số bậc ba (y = fleft( x right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d)có đồ thị như hình vẽ. (left| {fleft( {{x_1}} right)} right| = 2,5left| {{x_1}} right|). Xác định tỉ lệ (frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}).
A. (frac{8}{{27}}).
B. (frac{2}{{27}}).
C. (frac{{16}}{{27}}).
D. (frac{8}{{27}}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có(y = fleft( x right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d)
(fleft( 0 right) = – 1 Rightarrow d = – 1)
(f’left( x right) = 3{x^2} + 2bx + c); (f’left( 0 right) = 0 Rightarrow c = 0)
(f’left( x right) = 3{x^2} + 2bx = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = – frac{{2b}}{3}end{array} right. Rightarrow {x_1} = – frac{{2b}}{3} > 1 Rightarrow b < – frac{3}{2}).
Ta có (y = fleft( x right) = {x^3} + b{x^2} – 1)(,left| {fleft( {{x_1}} right)} right| = 2,5left| {{x_1}} right| Leftrightarrow fleft( {frac{{ – 2b}}{3}} right) = frac{5}{3}b)( Leftrightarrow – frac{8}{{27}}{b^3} + frac{4}{9}{b^3} – 1 = frac{5}{3}b)
( Leftrightarrow 4{b^3} – 35b – 27 = 0 Leftrightarrow left( {b + 3} right)left( {4{b^2} – 12b – 9} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b = – 3\b = frac{{3 + 2sqrt 2 }}{2},(l)\b = frac{{3 – 2sqrt 2 }}{2},(l)end{array} right.) ( Rightarrow {x_1} = 2 Rightarrow b = – 3)
( Rightarrow fleft( x right) = {x^3} – 3{x^2} – 1)
Xét phương trình: ({x^3} – 3{x^2} – 1 = – 1 Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0\x = 3end{array} right.)
( Rightarrow {S_2} = intlimits_0^3 {left| { – 1 – left( {{x^3} – 3{x^2} – 1} right)} right|} {rm{d}}x = intlimits_0^2 {left( { – {x^3} + 3{x^2}} right)} {rm{d}}x = frac{{27}}{4})
( Rightarrow {S_1} = intlimits_0^2 {left| {{x^3} – 3{x^2} – 1 – left( { – 5} right)} right|} {rm{d}}x = intlimits_0^2 {left( {{x^3} – 3{x^2} + 4} right)} {rm{d}}x = 4)
( Rightarrow frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{16}}{{27}}).