Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A’B’C’) có đáy (ABC) là tam giác vuông, (AB = BC = 2a). Biết góc giữa hai mặt phẳng (left( {ACC’} right)) và (left( {AB’C’} right)) bằng (60^circ ).
Thể tích của khối chóp (B’.ACC’A’) bằng
A. (frac{{8{a^3}}}{3}).
B. (frac{{{a^3}}}{2}).
C. (frac{{sqrt 3 {a^3}}}{3}).
D. (frac{{{a^3}}}{6}).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi (M) là trung điểm của (A’C’).
Vì tam giác (A’B’C’) là tam giác vuông cân tại (B’)( Rightarrow left{ begin{array}{l}B’M bot A’C’\B’M = asqrt 2 end{array} right.).
Mà (B’M bot AA’ Rightarrow B’M bot left( {ACC’A’} right) Rightarrow B’M bot AC’).
Trong (left( {ACC’A’} right)), kẻ (MH bot AC’,,,,left( {H in AC’} right)). Khi đó (AC’ bot left( {B’MH} right) Rightarrow B’H bot AC’).
Nên (left( {widehat {left( {AB’C’} right),,left( {ACC’A’} right)}} right) = left( {widehat {B’H,MH}} right) = widehat {B’HM} = 60^circ ).
Xét (Delta B’MH) vuông tại (M),ta có (tan widehat {B’HM} = frac{{B’M}}{{MH}} Rightarrow MH = frac{{B’M}}{{tan 60^circ }} = frac{{asqrt 6 }}{3}).
Xét (Delta MHC’) vuông tại (H), ta có (C’H = sqrt {M{{C’}^2} – M{H^2}} = frac{{2asqrt 3 }}{3}).
Ta lại có (Delta MHC’) đồng dạng với (Delta AA’C’ Rightarrow frac{{MH}}{{AA’}} = frac{{HC’}}{{A’C’}})
( Rightarrow AA’ = frac{{MH.A’C’}}{{HC’}} = frac{{frac{{asqrt 6 }}{3}.2asqrt 2 }}{{frac{{2asqrt 3 }}{3}}} = 2a).
Khi đó ({V_{ABC.A’B’C’}} = frac{1}{2}2a.2a.2a = 4{a^3} Rightarrow {V_{B’.ACC’A’}} = frac{2}{3}{V_{ABC.A’B’C’}} = frac{{8{a^3}}}{3}).
=======