Có bao nhiêu số nguyên a (left( a>3 right)) để phương trình (log left[ {{left( {{log }_{3}}x right)}^{log a}}+3 right]={{log }_{a}}left( {{log }_{3}}x-3 right)) có nghiệm (x>81).

Xét (log left[ {{left( {{log }_{3}}x right)}^{log a}}+3 right]={{log }_{a}}left( {{log }_{3}}x-3 right)) (1)

+ Với (x>81), suy ra ({log _3}x > 4,, Rightarrow left{ begin{array}{l} {left( {{{log }_3}x} right)^{log a}} + 3 > 0\ {log _3}x – 3 > 0 end{array} right.).

+ Ta có (1) (Leftrightarrow log a.{{log }_{a}}left[ {{left( {{log }_{3}}x right)}^{log a}}+3 right]={{log }_{a}}left( {{log }_{3}}x-3 right))

(Leftrightarrow {{log }_{a}}{{left( {{left( {{log }_{3}}x right)}^{log a}}+3 right)}^{log a}}={{log }_{a}}left( {{log }_{3}}x-3 right))

(Leftrightarrow {{left( {{left( {{log }_{3}}x right)}^{log a}}+3 right)}^{log a}}={{log }_{3}}x-3).

+ Đặt (y={{log }_{3}}xRightarrow y>4).

Đặt (m=log a>0). Ta có phương trình ({{left( {{y}^{m}}+3 right)}^{m}}=m-3) (2).

+ Đặt (t={{y}^{m}}+3>0) ta được hệ phương trình (left{ begin{array}{l} {t^m} = y – 3\ t = {y^m} + 3 end{array} right. Rightarrow {y^m} + y = {t^m} + t) (3).

+ Xét hàm (fleft( t right)={{t}^{m}}+t) với (m>0,,,t>0) có (fleft( t right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0,,,forall t>0).

Suy ra (fleft( t right)={{t}^{m}}+t) đồng biến trên khoảng (left( 0,;+,infty  right)).

+ Do đó (3) (Leftrightarrow y=tLeftrightarrow y={{y}^{m}}+3Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3Leftrightarrow m.log y=log left( y-3 right)) (Leftrightarrow m=frac{log left( y-3 right)}{log y})

Với (y>4) ta được: (0

Do a nguyên và a>3 nên (ain left{ 4,;5,;6,;7;8,;9 right}).