Có bao nhiêu số nguyên (y) sao cho bất phương trình ({left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} + 6x > {left( {frac{1}{4}} right)^x} + 3{log _3}y)có nghiệm đúng với mọi (x ge 5).
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên (y) sao cho bất phương trình ({left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} + 6x > {left( {frac{1}{4}} right)^x} + 3{log _3}y)có nghiệm đúng với mọi (x ge 5).
A. (243).
B. (242).
C. (59048).
D. (59049).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐK: (y > 0).
({left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} + 6x > {left( {frac{1}{4}} right)^x} + 3{log _3}y)( Leftrightarrow {left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} – 3{log _3}y > {left( {frac{1}{4}} right)^x} – 6x).( Leftrightarrow {left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} – 3{log _3}y > {left( {frac{1}{2}} right)^{2x}} – 3.2x).
Xét hàm số (fleft( x right) = {left( {frac{1}{2}} right)^t} – 3t)( Rightarrow f’left( t right) = {left( {frac{1}{2}} right)^t}ln frac{1}{2} – 3 < 0quad forall t in mathbb{R}).
( Rightarrow fleft( t right)) là hàm số nghịch biến trên (mathbb{R}).
( Rightarrow {left( {frac{1}{2}} right)^{{{log }_3}y}} – 3{log _3}y > {left( {frac{1}{2}} right)^{2x}} – 3.2x) ( Leftrightarrow {log _3}y < 2x Leftrightarrow y < {3^{2x}} Leftrightarrow y < {9^x}).
Bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi (x ge 5) ( Leftrightarrow y < {9^5}) ( Leftrightarrow y < 59049).
( Rightarrow y in left{ {1;2;…;59048} right}).
Vậy có (59048) số nguyên (y) thỏa mãn bài toán.