Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên (y) sao cho tồn tại (x in left( {frac{1}{{10}};4} right)) thỏa mãn ({2021^{2{x^2} + xy}} = (1 + xy){2021^{7x}}?)
A. (9).
B. (16).
C. (18).
D. (7).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có ({2021^{2{x^2} + xy}} = (1 + xy){2021^{7x}} Leftrightarrow {2021^{2{x^2} + xy – 7x}} = 1 + xy Leftrightarrow 2{x^2} + xy – 7x = {log _{2021}}left( {1 + xy} right))
Ta xét (fleft( x right) = 2{x^2} + xy – 7x – {log _{2021}}left( {1 + xy} right),,,,xy > – 1).
Ta có
(f’left( x right) = 4x + y – 7 – frac{y}{{ln 2021.left( {1 + xy} right)}})
(f”left( x right) = 4 + frac{{{y^2}}}{{ln 2021.{{left( {1 + xy} right)}^2}}} > 0) nên hàm số (fleft( x right)) là hàm lõm suy ra (fleft( x right)) có tối đa hai nghiệm.
Và (fleft( x right)) luôn có một nghiệm là (x = 0).
Ta có (xy > – 1 Leftrightarrow y > frac{{ – 1}}{x}), mà (x in left( {frac{1}{{10}};4} right)) nên (frac{{ – 1}}{x} in left( { – 10; – frac{1}{4}} right)) suy ra (y > – 10).
TH1: (y > 0) mà (y in mathbb{Z} Rightarrow y ge 1), từ (xy > – 1 Rightarrow x > frac{{ – 1}}{y}), do đó tập xác định của (fleft( x right)) là (D = left( {frac{{ – 1}}{y}; + infty } right)).
Để (fleft( x right)) có nghiệm (x in left( {frac{1}{{10}};4} right)) thì (left{ begin{array}{l}fleft( {frac{1}{{10}}} right) < 0\fleft( 4 right) > 0end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{{5y – 34}}{{50}} – {log _{2021}}left( {1 + frac{y}{{10}}} right) < 0,,,,,left( 1 right)\4 + 4y – {log _{2021}}left( {1 + 4y} right) > 0,,,,,,,,,,,,,left( 2 right)end{array} right.,)
Xét (hleft( y right) = )(frac{{5y – 34}}{{50}} – {log _{2021}}left( {1 + frac{y}{{10}}} right)), có (h’left( y right) = frac{1}{{10}} – frac{1}{{10ln 2021.(1 + frac{y}{{10}})}} > 0,,,,forall y > 0) nên hàm số đồng biến, và (h(y) = 0 Leftrightarrow y approx 7,54). Do đó (left{ begin{array}{l}hleft( y right) < 0\y in mathbb{N}end{array} right. Leftrightarrow 1 le y le 7)
Xét (gleft( y right) = 4 + 4y – {log _{2021}}left( {1 + 4y} right) Rightarrow g’left( y right) = 4 – frac{4}{{ln 2021.left( {1 + 4y} right)}} > 0,,forall y ge 1,) do đó (gleft( y right))là hàm số đồng biến trên nửa khoảng ({rm{[}}1; + infty )) nên (gleft( y right) ge gleft( 1 right) > 0,forall y ge 1).
Từ, ta có (1 le y le 7 Rightarrow y in left{ {1,2,3…,7} right}).
TH2: (y < 0) mà (y in mathbb{Z},,y > – 10) nên (y in left{ { – 1; – 2,…, – 9} right}).
từ (xy > – 1 Rightarrow x < frac{{ – 1}}{y} in left( {frac{1}{{10}};4} right)), do đó tập xác định của (fleft( x right)) là (D = left( { – infty ;frac{{ – 1}}{y}} right)).
Do (f(0) = 0;,mathop {lim }limits_{x to {{left( {frac{{ – 1}}{y}} right)}^ – }} f(x) = + infty ) nên hàm số có nghiệm(x in left( {frac{1}{{10}};4} right)) khi và chỉ khi hàm số có nghiệm (x in left( {frac{1}{{10}};frac{{ – 1}}{y}} right))khi và chỉ khi (fleft( {frac{1}{{10}}} right) < 0 Leftrightarrow frac{{5y – 34}}{{50}} – {log _{2021}}left( {1 + frac{y}{{10}}} right) < 0) luôn đúng với mọi(y in left{ { – 1; – 2,…, – 9} right}).
Vậy (y in left{ { – 9, – 8,…, – 1,1,2,3…,6,7} right}) nên có 16 giá trị của y thỏa mãn đề.
=======