DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức (z) thỏa mãn (left| {z + 1 – 4i} right| = 4sqrt 2 ) và ({left( {z + 3i} right)^2}) là số thuần ảo?
A.(1).
B. (2).
C. (3).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử (z = x + yi) (left( {x,y in mathbb{R}} right)). Khi đó
+ (left| {z + 1 – 4i} right| = 4sqrt 2 Leftrightarrow {left( {x + 1} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} = 32,,,,left( 1 right)).
+ ({left( {z + 3i} right)^2} = {left[ {x + left( {y + 3} right)i} right]^2} = {x^2} – {left( {y + 3} right)^2} + 2xleft( {y + 3} right)i).
({left( {z + 3i} right)^2}) là số thuần ảo khi và chỉ khi ({x^2} – {left( {y + 3} right)^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = y + 3\x = – y – 3end{array} right.).
Với (x = y + 3) thay vào (left( 1 right)) ta được phương trình (2{y^2} = 0 Leftrightarrow y = 0). Tìm được (z = 3).
Với (x = – y – 3) thay vào (left( 1 right)) ta được phương trình (2{y^2} – 4y – 12 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}y = 1 + sqrt 7 \y = 1 – sqrt 7 end{array} right.)
Tìm được (left[ begin{array}{l}z = – 4 – sqrt 7 + left( {1 + sqrt 7 } right)i\z = – 4 + sqrt 7 + left( {1 – sqrt 7 } right)iend{array} right.).
Vậy có (3) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.