Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (left| z-1 right|=sqrt{2}) và (left( 1+i right)left( overline{z}-i right)) là số thực?

Đặt z=a+bi,(left( a,bin mathbb{R} right)), suy ra (overline{z}=a-bi).

Ta có (left| z-1 right|=sqrt{2}Leftrightarrow left| a-1+bi right|=sqrt{2}Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}+{{b}^{2}}=2.,,,,,(1))

(left( 1+i right)left( overline{z}-i right)=left( 1+i right)left( a-(b+1)i right)=a+b+1+left( a-b-1 right)i)

(left( 1+i right)left( overline{z}-i right)) là số thực nên (a-b-1=0Leftrightarrow a=b+1. left( 2 right))

Từ (1) và (2) ta có (left{ begin{array}{l}
{left( {a – 1} right)^2} + {b^2} = 2\
a = b + 1
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
2{b^2} = 2\
a = b + 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
a = 2\
b = 1
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
a = 0\
b = – 1
end{array} right.
end{array} right.)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn