1. Giải bài 3.1 trang 103 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho ba vecto (overrightarrow a = (2; – 1;2),overrightarrow b = (3;0;1),overrightarrow c = ( – 4;1; – 1)). Tìm tọa độ của các vecto (overrightarrow m ) và (overrightarrow n) biết rằng:
a) (overrightarrow m = 3overrightarrow a – 2overrightarrow b + overrightarrow c )
b) (overrightarrow n = 2overrightarrow a + overrightarrow b + 4overrightarrow c)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức (koverrightarrow a pm loverrightarrow b = left( {kx pm lx’;ky pm ly’;kz pm lz’} right))
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (overrightarrow m = 3overrightarrow a – 2overrightarrow b + overrightarrow c = ( – 4; – 2;3))
b) (overrightarrow n = 2overrightarrow a + overrightarrow b + 4overrightarrow c = ( – 9;2;1))
2. Giải bài 3.2 trang 103 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho vecto (overrightarrow a = (1; – 3;4))
a) Tìm y0 và z0 để cho vecto (overrightarrow b = (2;{y_0};{z_0})) cùng phương với (overrightarrow a)
b) Tìm tọa độ của vecto (overrightarrow c ) biết rằng (overrightarrow a ) và (overrightarrow c) ngược hướng và (|overrightarrow {c|} = 2|overrightarrow a |)
Phương pháp giải
Sử dụng lý thuyết: (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương khi và chỉ khi (overrightarrow a = koverrightarrow b) với k là một số thực.
Hướng dẫn giải
a) Ta biết rằng (overrightarrow a ) và (overrightarrow b ) cùng phương khi và chỉ khi (overrightarrow a = koverrightarrow b) với k là một số thực.
Theo giả thiết ta có: (overrightarrow b = ({x_0};{y_0};{z_0})) với x0 = 2. Ta suy ra (k = dfrac{1}{2}) nghĩa là (l = dfrac{1}{2}{x_0})
Do đó: (- 3 = dfrac{1}{2}{y_0}) nên y0 = -6
(4 = dfrac{1}{2}{z_0}) nên z0 = 8
Vậy ta có (overrightarrow b = (2; – 6;8))
b) Theo giả thiết ta có (overrightarrow c = – 2overrightarrow a )
Do đó tọa độ của (overrightarrow c ) là: (overrightarrow c = left( { – 2;6; – 8} right))
3. Giải bài 3.3 trang 103 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x0; y0 ; z0). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Phương pháp giải
Dựng hình chiếu của M trên các mặt phẳng tọa độ và tìm tọa độ các hình chiếu đó.
Hướng dẫn giải
Gọi M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).
Ta có: M’(x0; y0; 0), M’’ (0; y0; z0), M’’’(x0; 0; z0).
4. Giải bài 3.4 trang 103 SBT Hình học 12
Cho hai bộ ba điểm:
a) A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1)
b) M = (1; 1; 1), N = (-4; 3; 1), P = (-9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?
Phương pháp giải
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto (overrightarrow {AB}) và (overrightarrow {AC}) cùng phương
Hướng dẫn giải
a) Ta có (overrightarrow {AB} = ( – 1; – 2;1), overrightarrow {AC} = ( – 1; – 3;0))
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto (overrightarrow {AB}) và (overrightarrow {AC}) cùng phương, nghĩa là (overrightarrow {AB} = koverrightarrow {AC} ) với k là một số thực.
Giả sử ta có (overrightarrow {AB} = koverrightarrow {AC}), khi đó (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{k.( – 1) = – 1}\{k.( – 3) = – 2}\{k.(0) = 1}end{array}} right.)
Ta không tìm được số k nào thỏa mãn đồng thời cả ba đẳng thức trên.
Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Ta có: (overrightarrow {MN} = ( – 5;2;0),, và ,,overrightarrow {MP} = ( – 10;4;0)). Hai vecto (overrightarrow {MN}) và (overrightarrow {MP}) thỏa mãn điều kiện: (overrightarrow {MN} = koverrightarrow {MP}) với (k = dfrac{1}{2}) nên ba điểm M, N, P thẳng hàng.
5. Giải bài 3.5 trang 103 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).
Phương pháp giải
– Gọi tọa độ của (M in left( {Oxz} right)). Tính khoảng cách MA, MB, MC.
– Lập hệ phương trình, giải hệ và kết luận.
Hướng dẫn giải
Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là (x; 0; z), cần phải tìm x và z. Ta có:
MA2 = (1 – x)2 + 1 + (1 – z)2
MB2 = (–1 – x)2 + 1 + z2
MC2 = (3 – x)2 + 1 + (–1 – z)2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2 = MB2 = MC2
(begin{array}{l} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} {left( {1 – x} right)^2} + 1 + {left( {1 – z} right)^2} = {left( { – 1 – x} right)^2} + 1 + {z^2}\ {left( {1 – x} right)^2} + 1 + {left( {1 – z} right)^2} = {left( {3 – x} right)^2} + 1 + {left( { – 1 – z} right)^2} end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 2x + 1 – 2z = 2x\ 1 – 2x – 2z = 9 – 6x + 2z end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – 4x – 2z + 1 = 0\ 4x – 4z – 8 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x = dfrac{5}{6}\ z = – dfrac{7}{6} end{array} right. Rightarrow Mleft( {dfrac{5}{6};0; – dfrac{7}{6}} right) end{array})
6. Giải bài 3.6 trang 103 SBT Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overline {BC})
b) (overrightarrow {AB} = dfrac{1}{2}overrightarrow {AC} + dfrac{1}{2}overrightarrow {AD} + dfrac{1}{2}overrightarrow {CD} + overrightarrow {DB})
Phương pháp giải
Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {DC})
(overrightarrow {BD} = overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD})
Do đó: (overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} ,, vì ,,overrightarrow {DC} = – overrightarrow {CD})
b) Vì (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {DB} ,, và ,,overrightarrow {AD} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CD} ,, nên ,,overrightarrow {AB} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DB} )
Do đó: (2overrightarrow {AB} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {AD} + overrightarrow {CD} + 2overrightarrow {DB})
Vậy (overrightarrow {AB} = dfrac{1}{2}overrightarrow {AC} + dfrac{1}{2}overrightarrow {AD} + dfrac{1}{2}overrightarrow {CD} + overrightarrow {DB})
7. Giải bài 3.7 trang 103 SBT Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {CB} = 2overrightarrow {MN})
b) (overrightarrow {AB} – overrightarrow {CD} = overrightarrow {AC} – overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {PQ})
Phương pháp giải
Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.
Hướng dẫn giải
a) Ta có MPNQ là hình bình hành vì (overrightarrow {MP} = overrightarrow {QN} = dfrac{1}{2}overrightarrow {CD}) và (overrightarrow {MQ} = overrightarrow {PN} = dfrac{1}{2}overrightarrow {AB})
Do đó (overrightarrow {MN} = overrightarrow {MQ} + overrightarrow {MP} = dfrac{{overrightarrow {AB} }}{2} + dfrac{{overrightarrow {CD} }}{2}) hay (2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {CD}) (1)
Mặt khác (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {DB})
(overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BD})
Nên (overrightarrow {AB} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {CB}) (2)
Vì (overrightarrow {DB} = – overrightarrow {BD})
Từ (1) và (2) ta có: (overrightarrow {AB} + overrightarrow {CD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {CB} = 2overrightarrow {MN} ) là đẳng thức cần chứng minh.
b) Ta có: (overrightarrow {PQ} = overrightarrow {MQ} – overrightarrow {MP} = dfrac{{overrightarrow {AB} }}{2} – dfrac{{overrightarrow {CD} }}{2})
Do đó: (2overrightarrow {PQ} = overrightarrow {AB} – overrightarrow {CD}) (3)
Mặt khác: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CB})
(overrightarrow {CD} = overrightarrow {BD} – overrightarrow {BC} )
Nên (overrightarrow {AB} – overrightarrow {CD} = overrightarrow {AC} – overrightarrow {BD}) (4)
Vì (overrightarrow {CB} – ( – overrightarrow {BC} ) = overrightarrow 0 )
Từ (3) và (4) ta suy ra (overrightarrow {AB} – overrightarrow {CD} = overrightarrow {AC} – overrightarrow {BD} = 2overrightarrow {PQ}) là đẳng thức cần chứng minh.
8. Giải bài 3.8 trang 103 SBT Hình học 12
Trong không gian cho ba vecto tùy ý (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c).
Gọi
(overrightarrow u = overrightarrow a – 2overrightarrow b ,) (overrightarrow v = 3overrightarrow b – overrightarrow c ,) (overrightarrow {rm{w}} = 2overrightarrow c – 3overrightarrow a )
Chứng tỏ rằng ba vecto (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow {rm{w}}) đồng phẳng.
Phương pháp giải
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow {rm{w}}) đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho (overrightarrow {rm{w}} = poverrightarrow u + qoverrightarrow v)
Hướng dẫn giải
Giả sử có (overrightarrow {rm{w}} = poverrightarrow u + qoverrightarrow v )
(2overrightarrow c – 3overrightarrow a = p(overrightarrow a – 2overrightarrow b ) + q(3overrightarrow b – overrightarrow c ))
(Leftrightarrow (3 + p)overrightarrow a + (3q – 2p)overrightarrow b – (q + 2)overrightarrow c = overrightarrow 0) (1)
Vì ba vecto (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c) lấy tùy ý nên đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi:
(left{ {begin{array}{*{20}{c}}{3 + p = 0}\{3q – 2p = 0}\{q + 2 = 0}end{array}} right. ) ( Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{p = – 3}\{q = – 2}end{array}} right.)
Như vậy ta có: (overrightarrow {rm{w}} = – 3overrightarrow u – 2overrightarrow v) nên ba vecto (overrightarrow u ,overrightarrow v ,overrightarrow {rm{w}} ) đồng phẳng.
9. Giải bài 3.9 trang 104 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho một vecto (overrightarrow a) tùy ý khác vecto(overrightarrow 0). Gọi (alpha ,beta ,gamma) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị (overrightarrow i ,overrightarrow j ,overrightarrow k) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto (overrightarrow a). Chứng minh rằng: ({cos ^2}alpha + {cos ^2}beta + {cos ^2}gamma = 1)
Phương pháp giải
– Dựng véc tơ đơn vị (overrightarrow {{a_0}}) cùng hướng với vecto (overrightarrow a)
– Dựng điểm A0 sao cho (overrightarrow {O{A_0}} = overrightarrow {{a_0}}) và các điểm ({A_1},{A_2},{A_3}) lần lượt là hình chiếu của ({A_0}) lên các trục tọa độ.
– Tính (cos alpha ,cos beta ,cos gamma) và suy ra điều phải chứng minh.
Hướng dẫn giải
Gọi (overrightarrow {{a_0}} ) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto (overrightarrow a), ta có (overrightarrow {{a_0}} = dfrac{1}{{|overrightarrow a |}}overrightarrow a)
Gọi (overrightarrow {O{A_0}} = overrightarrow {{a_0}}) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có: (dfrac{{|overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|overrightarrow {O{A_0}} |}} = cos alpha ,dfrac{{|overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|overrightarrow {O{A_0}|} }} = cos beta ,dfrac{{|overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|overrightarrow {O{A_0}} |}} = cos gamma )
Vì (|overrightarrow {O{A_0}} | = 1) nên (|overrightarrow {O{A_1}} | = cos alpha ,|overrightarrow {O{A_2}} | = cos beta ,|overrightarrow {O{A_3}} | = cos gamma )
Ta có (overrightarrow {O{A_0}} = overrightarrow {O{A_1}} + overrightarrow {O{A_2}} + overrightarrow {O{A_3}} ) , ta suy ra: (overrightarrow {O{A_0}} = cos alpha overrightarrow i + cos beta overrightarrow j + cos gamma overrightarrow k ,, hay ,,overrightarrow {O{A_0}} = (cos alpha ;cos beta ;cos gamma)
Vì (overrightarrow {O{A_0}} = overrightarrow {{a_0}} ) mà (|overrightarrow {{a_0}} | = 1) nên ta có: ({cos ^2}alpha + {cos ^2}beta + {cos ^2}gamma = 1)
10. Giải bài 3.10 trang 104 SBT Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh hệ thức: (overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0)
b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”
Phương pháp giải
– Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.
– Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.
Hướng dẫn giải
a) Ta có (overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = overrightarrow {AB} (overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} ) = overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ) (1)
(overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} = overrightarrow {AC} (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} ) = overrightarrow {AC} .overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD}) (2)
(overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = overrightarrow {AD} (overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} ) = overrightarrow {AD} .overrightarrow {AC} – overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB} ) (3)
Lấy (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:
(overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} + overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0)
b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí: “Nếu tứ diện ABCD có (AB bot CD,AC bot DB) , nghĩa là (overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} = 0,, và ,,overrightarrow {AC} .overrightarrow {DB} = 0) thì (overrightarrow {AD} .overrightarrow {BC} = 0) và do đó (AD bot BC)”
11. Giải bài 3.11 trang 104 SBT Hình học 12
Tính tích vô hướng của hai vecto (overrightarrow a ,overrightarrow b) trong không gian với các tọa độ đã cho là:
a) (overrightarrow a = (3;0; – 6),overrightarrow b = (2; – 4;c))
b) (overrightarrow a = (1; – 5;2),overrightarrow b = (4;3; – 5))
c) (overrightarrow a = (0;sqrt 2 ;sqrt 3 ),overrightarrow b = (1;sqrt 3 ; – sqrt 2 ))
Phương pháp giải
Sử dụng công thức (overrightarrow a .overrightarrow b = xx’ + yy’ + zz’)
Hướng dẫn giải
a) (overrightarrow a .overrightarrow b =3.2-6.c= 6(1 – c))
b) (overrightarrow a .overrightarrow b =1.4-5.3-5.2 = – 21)
c) (overrightarrow a .overrightarrow b =sqrt 2 .sqrt 3 -sqrt 3 .sqrt 2= 0)
12. Giải bài 3.12 trang 104 SBT Hình học 12
Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:
a) A(4; -1; 1) , B(2; 1; 0)
b) A(2; 3; 4) , B(6; 0; 4)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính khoảng cách (AB = sqrt {{{left( {{x_B} – {x_A}} right)}^2} + {{left( {{y_B} – {y_A}} right)}^2} + {{left( {{z_B} – {z_A}} right)}^2}} )
Hướng dẫn giải
a) (AB = sqrt {{{left( {2 – 4} right)}^2} + {{left( {1 + 1} right)}^2} + {{left( {0 – 1} right)}^2}} = sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3)
b) (AB = sqrt {{{left( {6 – 2} right)}^2} + {{left( {0 – 3} right)}^2} + {{left( {4 – 4} right)}^2}} = sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}} = 5)
13. Giải bài 3.13 trang 104 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:
A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức (cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right) = dfrac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|}}) và nhận xét nếu (cos alpha > 0) thì (alpha ) nhọn.
Hướng dẫn giải
Ta có: (overrightarrow {AB} = ( – a;b;0),, và ,,overrightarrow {AC} = ( – a;0;c))
(begin{array}{l} cos widehat {BAC} = cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right)\ = dfrac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|}} = dfrac{{{a^2}}}{{left| {overrightarrow {AB} } right|.left| {overrightarrow {AC} } right|}} > 0\ Rightarrow widehat {BAC} 0\ Rightarrow widehat {ABC} 0\ Rightarrow widehat {BCA}
Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.
14. Giải bài 3.14 trang 104 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.
b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;
c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)
Phương pháp giải
Mặt cầu có tâm ((Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính R có phương trình ({left( {x – a} right)^2} + {left( {y – b} right)^2} + {left( {z – c} right)^2} = {R^2})
Hướng dẫn giải
a) Mặt cầu có tâm (Ileft( {5; – 3;7} right)) và bán kính r = 2 thì có phương trình:
(x – 5)2 + (y +3)2 + (z – 7)2 = 4 ;
b) Mặt cầu có tâm (Cleft( {4; – 4;2} right)) và đi qua (Oleft( {0;0;0} right)) nên có bán kính (R = OC = sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} = 6)
Vậy phương trình mặt cầu (x – 4)2 + (y +4)2 + (z – 2)2 = 36;
c) Mặt cầu có tâm (Cleft( {3; – 2;1} right)) và đi qua điểm (Mleft( {2; – 1; – 3} right)) nên có bán kính (R = CM = sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} = sqrt {18})
Vậy phương trình mặt cầu (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 18.
15. Giải bài 3.15 trang 104 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) x2 + y2 + z2 – 6x + 2y – 16z – 26 = 0
b) 2x2 + 2y2 + 2z2 + 8x – 4y – 12z – 100 = 0
Phương pháp giải
Mặt cầu ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0) có tâm (Ileft( {a;b;c} right)) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d} ).
Hướng dẫn giải
a) Tâm I(3; -1; 8), bán kính (R = sqrt {{3^2} + {1^2} + {8^2} + 26} = 10)
b) Ta có: (2{x^2} + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 8x – 4y – 12z – 100 = 0)
( Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x – 2y – 6z – 50 = 0)
Mặt cầu có tâm I(-2; 1; 3), bán kính (R = sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2} + 50} = 8)
16. Giải bài 3.16 trang 104 SBT Hình học 12
Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Phương pháp giải
– Gọi dạng phương trình mặt cầu là ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0)
– Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình, giải hệ tìm a, b, c, d
– Từ đó suy ra phương trình mặt cầu, tâm và bán kính.
Hướng dẫn giải
Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0)
Vì (A in (S)) nên ta có: 1 – 2a + d =0 (1)
(B in (S)) nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)
(C in (S)) nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)
(D in (S)) nên ta có: d = 0 (4)
Giải hệ 4 phương trình trên ta có: (d = 0,a = dfrac{1}{2},b = – 1,c = 2)
Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: ({x^2} + {y^2} + {z^2} – x + 2y – 4z = 0)
Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:
({left( {x – dfrac{1}{2}} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z – 2} right)^2} – dfrac{1}{4} – 1 – 4 = 0)
(Leftrightarrow {left( {x – dfrac{1}{2}} right)^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z – 2} right)^2} = dfrac{{21}}{4})
Vậy mặt cầu (S) có tâm (Ileft( {dfrac{1}{2}; – 1;2} right)) và có bán kính (r = dfrac{{sqrt {21} }}{2})