1. Giải bài 3.17 trang 114 SBT Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) đi qua điểm M(2; 0; 1) và nhận (overrightarrow n = (1;1;1)) làm vecto pháp tuyến;
b) (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto (overrightarrow u = (0;1;1),overrightarrow v = ( – 1;0;2))
c) (α) đi qua ba điểm M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).
Phương pháp giải
a) Sử dụng công thức (aleft( {x – {x_0}} right) + bleft( {y – {y_0}} right) + cleft( {z – {z_0}} right) = 0).
b) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (overrightarrow n = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right])
c) Tìm tọa độ véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} } right])
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (α) có dạng: (x – 2)+ (y) + (z – 1) = 0 hay x + y + z – 3 = 0
b) Hai vecto có giá song song với mặt phẳng (α) là: (overrightarrow u = (0;1;1),, và ,,overrightarrow v = ( – 1;0;2))
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right] = (2; – 1;1))
Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 0) và nhận (overrightarrow n = (2; – 1;1)) là vecto pháp tuyến.
Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 1) – y +z = 0 hay 2x – y + z – 2 = 0
c) Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là: (overrightarrow {MN} = (3;2;1)) và (overrightarrow {MP} = (4;1;0))
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} } right] = ( – 1;4; – 5))
Vậy phương trình của (α) là: -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0
hay x – 4y + 5z – 2 = 0.
2. Giải bài 3.18 trang 114 SBT Hình học 12
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).
Phương pháp giải
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Nói cách khác, mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm I của AB và nhận (overrightarrow {AB}) làm VTPT.
Hướng dẫn giải
Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(2; 2; 3)
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = overrightarrow {IB} = (1;4; – 1))
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
1(x – 2) + 4(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay x + 4y – z – 7 = 0.
3. Giải bài 3.19 trang 114 SBT Hình học 12
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)
a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải
a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C thì nhận (left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]) làm VTPT.
b) Mặt phẳng song song với (left( {ABC} right)) thì cũng nhận (overrightarrow {{n_{left( {ABC} right)}}} ) làm VTPT.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (overrightarrow {AB} = ( – 4;5; – 1)) và (overrightarrow {AC} = (0; – 1;1) ,, suy,, ra ,,overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right] = (4;4;4))
Do đó (ABC) có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n = (4;4;4)) hoặc (overrightarrow n ‘ = (1;1;1))
Suy ra phương trình của (ABC) là: (x – 5) + (y – 1) + (z – 3) = 0
Hay x + y + z – 9 =0
b) Mặt phẳng (α) đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC) nên (α) cũng có vecto pháp tuyến là (overrightarrow n ‘ = (1;1;1))
Vậy phương trình của (α) là: (x – 4) + (y) + (z – 6) = 0 hay x + y + z – 10 = 0.
4. Giải bài 3.20 trang 114 SBT Hình học 12
Hãy viết phương trình mặt phẳng ((α)) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng ((beta )) : x + y + 2z – 7 = 0.
Phương pháp giải
Mặt phẳng song song với ((beta )) thì cũng nhận (overrightarrow {{n_{left( beta right)}}}) làm VTPT.
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ((beta )): x + y + 2z – 7 = 0
Vậy phương trình của (α) có dạng : x + y + 2z + D = 0
(α) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) suy ra D = 0.
Vậy phương trình của (α) là x + y + 2z = 0.
5. Giải bài 3.21 trang 114 SBT Hình học 12
Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng ((beta )) : x + 2y – z = 0 .
Phương pháp giải
Mặt phẳng đi qua hai điểm A ,B và vuông góc (left( beta right)) thì có VTPT là (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {{n_{left( beta right)}}} } right])
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (left( beta right))
x + 2y – z = 0.
Vậy hai vecto có giá song song hoặc nằm trên (α) là (overrightarrow {AB} = (2;2;1)) và (overrightarrow {{n_beta }} = (1;2; – 1))
Suy ra (α) có vecto pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_alpha }} =left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {{n_beta }} } right] = ( – 4;3;2))
Vậy phương trình của (α) là: -4x + 3(y – 1) + 2z = 0 hay 4x – 3y – 2z + 3 = 0.
6. Giải bài 3.22 trang 115 SBT Hình học 12
Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:
(α): Ax – y + 3z + 2 = 0
(β): 2x + By + 6z + 7 = 0
Phương pháp giải
Hai mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 và a’x + b’y + c’z + d’ = 0 song song nếu (dfrac{a}{{a’}} = dfrac{b}{{b’}} = dfrac{c}{{c’}} ne dfrac{d}{{d’}} ,, với ,, a’b’c’d’ ne 0)
Hướng dẫn giải
((alpha )//(beta ) Leftrightarrow dfrac{A}{2} = dfrac{{ – 1}}{B} = dfrac{3}{6} ne dfrac{2}{7} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{A = 1}\{B = – 2}end{array}} right.)
7. Giải bài 3.23 trang 115 SBT Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) (α): x + 2y – 2z + 1 = 0
b) (β): 3x + 4z + 25 = 0
c) (γ): z + 5 = 0
Phương pháp giải
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: (dleft( {M,left( P right)} right) = dfrac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }})
Hướng dẫn giải
a) (d(M,(alpha )) = dfrac{{|1 + 4 + 1|}}{{sqrt {1 + 4 + 4} }} = dfrac{6}{3} = 2)
b) (d(M,(beta )) = dfrac{{|3 + 25|}}{{sqrt {9 + 16} }} = dfrac{{28}}{5})
c) (d(M,(gamma )) = dfrac{{|5|}}{{sqrt 1 }} = 5)
8. Giải bài 3.24 trang 115 SBT Hình học 12
Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
(α) : 3x – y + 4z + 2 = 0
(β) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Phương pháp giải
Gọi tọa độ điểm (Mleft( {x;y;z} right)), sử dụng công thức tính khoảng cách suy ra mối quan hệ x,y,z.
Từ đó suy ra mặt phẳng cần tìm.
Hướng dẫn giải
Xét điểm M(x; y; z). Ta có: M cách đều hai mặt phẳng (α) và (β)
(Leftrightarrow d(M,(alpha )) = d(M,(beta )))
(Leftrightarrow dfrac{{|3x – y + 4z + 2|}}{{sqrt {9 + 1 + 16} }}) ( = dfrac{{|3x – y + 4z + 8|}}{{sqrt {9 + 1 + 16} }})
(begin{array}{l} Leftrightarrow left| {3x – y + 4z + 2} right| = left| {3x – y + 4z + 8} right|\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 3x – y + 4z + 2 = 3x – y + 4z + 8\ 3x – y + 4z + 2 = – left( {3x – y + 4z + 8} right) end{array} right.\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 2 = 8left( {vo,li} right)\ 6x – 2y + 8z + 10 = 0 end{array} right.\ Leftrightarrow 3x – y + 4z + 5 = 0 end{array})
Vậy tập hợp điểm M là mặt phẳng 3x – y + 4z + 5 = 0.
9. Giải bài 3.25 trang 115 SBT Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song:
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Phương pháp giải
a) Chọn hệ trục tọa độ, viết phương trình mặt phẳng (left( {AB’D’} right),left( {BC’D} right)) và suy ra điều kiện song song.
b) Sử dụng tính chất (dleft( {left( P right),left( Q right)} right) = dleft( {M,left( Q right)} right)) và công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (dleft( {M,left( Q right)} right) = dfrac{{left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }})
Hướng dẫn giải
Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập phương có tọa độ là:
A(0; 0; 0) , B(1;0; 0) , D(0; 1; 0)
B’(1; 0 ; 1) , D’(0; 1; 1) , C’ (1; 1; 1)
a) Ta có:
(begin{array}{l}overrightarrow {AB’} = left( {1;0;1} right),overrightarrow {AD’} = left( {0;1;1} right)\ Rightarrow left[ {overrightarrow {AB’} ,overrightarrow {AD’} } right] = left( { – 1; – 1;1} right)end{array})
Mặt phẳng (left( {AB’D’} right)) đi qua (Aleft( {0;0;0} right)) và nhận (left[ {overrightarrow {AB’} ,overrightarrow {AD’} } right] = left( { – 1; – 1;1} right)) làm VTPT nên
(left( {AB’D’} right): – left( {x – 0} right) – left( {y – 0} right) + left( {z – 0} right) = 0) hay x + y – z = 0
(begin{array}{l}overrightarrow {BC’} = left( {0;1;1} right),overrightarrow {DC’} = left( {1;0;1} right)\ Rightarrow left[ {overrightarrow {BC’} ,overrightarrow {DC’} } right] = left( {1;1; – 1} right)end{array})
Mặt phẳng (left( {BC’D} right)) đi qua (Bleft( {1;0;0} right)) và nhận (left[ {overrightarrow {BC’} ,overrightarrow {DC’} } right] = left( {1;1; – 1} right)) làm VTPT nên
(left( {BC’D} right):left( {x – 1} right) + left( {y – 0} right) – left( {z – 0} right) = 0) hay x + y – z – 1 = 0
Ta có: (dfrac{1}{1} = dfrac{1}{1} = dfrac{{ – 1}}{{ – 1}} ne dfrac{0}{{ – 1}})
Vậy (AB’D’) // (BC’D)
b) (d((AB’D’),(BC’D)))( = d(A,(BC’D)) = dfrac{{left| {0 + 0 – 0 – 1} right|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} ) (= dfrac{1}{{sqrt 3 }})
10. Giải bài 3.16 trang 115 SBT Hình học 12
Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:
(β): 3x – 2y + 2z + 7 = 0
(γ): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Phương pháp giải
Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β), (γ) thì (overrightarrow {{n_{left( alpha right)}}} = left[ {overrightarrow {{n_{left( beta right)}}} ;overrightarrow {{n_{left( gamma right)}}} } right])
Hướng dẫn giải
Mặt phẳng (β) có VTPT (overrightarrow {{n_beta }} = (3; – 2;2))
Mặt phẳng (γ) có VTPT (overrightarrow {{n_gamma }} = (5; – 4;3))
Mặt phẳng (α) vuông góc với hai mặt phẳng (β) và (γ), do đó
(left{ begin{array}{l} overrightarrow {{n_alpha }} bot overrightarrow {{n_beta }} \ overrightarrow {{n_alpha }} bot overrightarrow {{n_gamma }} end{array} right. Rightarrow overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{n_beta }} ;overrightarrow {{n_gamma }} } right])
Suy ra (overrightarrow {{n_alpha }} = left[ {overrightarrow {{n_beta }} ,overrightarrow {{n_gamma }} } right] = (2;1; – 2))
Mặt khác (α) đi qua điểm M(3; -1; -5) và có vecto pháp tuyến là (overrightarrow {{n_alpha }})
Vậy phương trình của (α) là: 2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay 2x + y – 2z – 15 = 0.
11. Giải bài 3.27 trang 115 SBT Hình học 12
Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.
Phương pháp giải
– Tìm tọa độ các hình chiếu của A trên mỗi trục tọa độ.
– Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng dạng mặt chắn: (dfrac{x}{a} + dfrac{y}{b} + dfrac{z}{c} = 1)
Hướng dẫn giải
Hình chiếu của điểm A(2; 3; 4) lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là B(2; 0; 0), C(0; 3; 0), D(0; 0 ; 4). Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm B, C, D nên (α) có phương trình theo đoạn chắn là: (dfrac{x}{2} + dfrac{y}{3} + dfrac{z}{4} = 1) hay 6x + 4y + 3z – 12 = 0.
12. Giải bài 3.28 trang 115 SBT Hình học 12
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:
a) (α1): 3x − 2y − 3z + 5 = 0, (α′1): 9x − 6y − 9z – 5 = 0
b) (α2): x − 2y + z + 3 = 0, (α′2): x − 2y – z + 3 = 0
c) (α3): x – y + 2z – 4 = 0, (α′3): 10x − 10y + 20z – 40 = 0
Phương pháp giải
Sử dụng vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình:
(P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Ta có (overrightarrow{n_{1}})(A1 ; B1 ; C1) ⊥ (P1) và (overrightarrow{n_{2}})(A2 ; B2 ; C2) ⊥ (P2) . Khi đó:
(P1) ⊥ (P2) ⇔ (overrightarrow{n_{1}}perp overrightarrow{n_{2}} ⇔ overrightarrow{n_{1}}.overrightarrow{n_{2}})⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
(P1) // (P2) ⇔ (overrightarrow{n_{1}}=k.overrightarrow{n_{2}} ,, và ,, D_1 ≠ k.D_2 (k ≠) 0)
(P1) ≡ (P2) ⇔ (overrightarrow{n_{1}}=k.overrightarrow{n_{2}}) và D1 = k.D2
(P1) cắt (P2) ⇔ (overrightarrow{n_{1}}neq k.overrightarrow{n_{2}}) (nghĩa là (overrightarrow{n_{1}}) và (overrightarrow{n_{2}}) không cùng phương).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (dfrac{3}{9} = dfrac{{ – 2}}{{ – 6}} = dfrac{{ – 3}}{{ – 9}} ne dfrac{5}{{ – 5}}) nên (({alpha _1})//({alpha _1}’))
b) Ta có: (dfrac{1}{1} = dfrac{{ – 2}}{{ – 2}} ne dfrac{1}{{ – 1}}) nên (({alpha _2})) cắt (({alpha _2}’))
c) Ta có: (dfrac{1}{{10}} = dfrac{{ – 1}}{{ – 10}} = dfrac{2}{{20}} = dfrac{{ – 4}}{{ – 40}},, nên ,,({alpha _3}) equiv ({alpha _3}’))
13. Giải bài 3.29 trang 115 SBT Hình học 12
Viết phương trình của mặt phẳng (β) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – y + 3z + 4 = 0
Phương pháp giải
Mặt phẳng (β) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (overrightarrow {{n_beta }} = left[ {overrightarrow j ,overrightarrow {{n_alpha }} } right])
Hướng dẫn giải
Trục Oy có VTCP (overrightarrow j = (0;1;0))
Mặt phẳng (α): 2x – y + 3z + 4 = 0) có VTPT (overrightarrow {{n_alpha }} = (2; – 1;3))
Mặt phẳng (β) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng (α)
(Rightarrow left{ begin{array}{l} overrightarrow {{n_beta }} bot overrightarrow {{n_alpha }} \ overrightarrow {{n_beta }} bot overrightarrow j end{array} right. Rightarrow overrightarrow {{n_beta }} = left[ {overrightarrow j ;overrightarrow {{n_alpha }} } right])
Suy ra (β) có vecto pháp tuyến là (overrightarrow {{n_beta }} = left[ {overrightarrow j ;overrightarrow {{n_alpha }} } right] = (3;0; – 2))
Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: (overrightarrow {{n_beta }} = (3;0; – 2))
Vậy phương trình của (β) là: 3(x – 2) – 2(z – 2) = 0 hay 3x – 2z – 2 = 0.
14. Giải bài 3.30 trang 115 SBT Hình học 12
Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Phương pháp giải
– Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm (A,B,C).
– Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)
(a, b, c > 0).
Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là: (left( alpha right):dfrac{x}{a} + dfrac{y}{b} + dfrac{z}{c} = 1) (1)
Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): (dfrac{1}{a} + dfrac{2}{b} + dfrac{3}{c} = 1)
Thể tích của tứ diện OABC là (V = dfrac{1}{3}B.h = dfrac{1}{3}.dfrac{1}{2}OA.OB.OC = dfrac{1}{6}abc)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: (1 = dfrac{1}{a} + dfrac{2}{b} + dfrac{3}{c} ge 3sqrt[3]{{dfrac{6}{{abc}}}} Rightarrow 1 ge dfrac{{27.6}}{{abc}})
(Rightarrow abc ge 27.6 Rightarrow V ge 27)
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất
(Leftrightarrow V = 27 Leftrightarrow dfrac{1}{a} = dfrac{2}{b} = dfrac{3}{c} = dfrac{1}{3} ) (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\{b = 6}\{c = 9}end{array}} right.)
Vậy phương trình mặt phẳng (α) thỏa mãn đề bài là:
(dfrac{x}{3} + dfrac{y}{6} + dfrac{z}{9} = 1) hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.