Câu hỏi:
Tìm số cặp số nguyên (left( {a;b} right)) thỏa mãn ({log _a}b + 6{log _b}a = 5), biết: (2 le a le 2020;2 le b le 2021).
A. (54)
B. (55).
C. (2021).
D. (4041).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
({log _a}b + 6{log _b}a = 5 Leftrightarrow {log _a}b + frac{6}{{{{log }_a}b}} = 5 Leftrightarrow {left( {{{log }_a}b} right)^2} – 5{log _a}b + 6 = 0)
( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{{{log }_a}b = 3}\{{{log }_a}b = 2}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{b = {a^3}}\{b = {a^2}}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{a = sqrt[3]{b}}\{a = sqrt b }end{array}} right.)
TH1: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{2 le b le 2021}\{a = sqrt[3]{b}}end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{sqrt[3]{2} le sqrt[3]{b} le sqrt[3]{{2021}}}\{a = sqrt[3]{b}}end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{sqrt[3]{2} le a le sqrt[3]{{2021}}}\{a = sqrt[3]{b}}end{array}} right.} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 12}\{b = {a^3}}end{array}} right.)
Do đó có (11) cặp số (left( {a;b} right)) thỏa yêu cầu.
TH2: (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{2 le b le 2021}\{a = sqrt b }end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{sqrt 2 le sqrt b le sqrt {2021} }\{a = sqrt b }end{array} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 2020}\{sqrt 2 le a le sqrt {2021} }\{a = sqrt b }end{array}} right.} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{2 le a le 44}\{b = {a^2}}end{array}} right.)
Do đó có (43) cặp số (left( {a;b} right)) thỏa yêu cầu.
Vậy: có (54) cặp số (left( {a;b} right)) thỏa yêu cầu.
=======