Câu hỏi:
Xét các số phức ({z_1},{rm{ }}{z_2}) thỏa mãn (left| {{z_1} – 3i + 5} right| = 2) và (left| {i{z_2} – 1 + 2i} right| = 4.) Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = left| {2i{z_1} + 3{z_2}} right|) bằng
A. (sqrt {313} + 2sqrt 5 ).
B. (sqrt {313} ).
C. (sqrt {313} + 8).
D. (sqrt {313} + 16).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt ({z_3} = 2i{z_1}) và ({z_4} = – 3{z_2}) suy ra (P = left| {2i{z_1} + 3{z_2}} right| = left| {{z_3} – ( – 3{z_2})} right| = left| {{z_3} – {z_4}} right|.)
Và ({z_1} = frac{1}{{2i}}{z_3}) thế vào (left| {{z_1} – 3i + 5} right| = 2 Leftrightarrow left| {frac{1}{{2i}}{z_3} – 3i + 5} right| = 2)( Leftrightarrow left| {{z_3} – left( { – 6 – 10i} right)} right| = 4.)
Và ({z_2} = – frac{1}{3}{z_4}) thế vào (left| {i{z_2} – 1 + 2i} right| = 4 Leftrightarrow left| {frac{{ – 1}}{3}i{z_4} – 1 + 2i} right| = 4)( Leftrightarrow left| {{z_4} – left( {6 + 3i} right)} right| = 12.)
Gọi (A,{rm{ }}B) là hai điểm biểu diễn cho hai số phức ({z_3},{rm{ }}{z_4}.)
thuộc đường tròn tâm (I( – 6; – 10),{rm{ }}{R_3} = 4.)
thuộc đường tròn tâm (J(6;3),{rm{ }}{R_4} = 12.)
( Rightarrow P = left| {{z_4} – {z_3}} right| = AB Rightarrow left{ begin{array}{l}{P_{min }} = left| {IJ – {R_3} – {R_4}} right| = sqrt {313} – 16\{P_{max }} = IJ + {R_3} + {R_4} = sqrt {313} + 16end{array} right..)
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức (z = a + bi) có phần thực là (a), phần ảo là (b) ((a,binmathbb) và (i^2=-1)).
Số phức bằng nhau (a + bi = c + di Leftrightarrow) (a=c) và (b=d.)
Số phức (z = a + bi) được biểu diễn bới điểm (M(a,b)) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức (z), kí hiệu là (left| z right| = overrightarrow = sqrt + } .)
Số phức liên hợp của số phức (z = a + bi) là (a-bi) kí hiệu là (overline z = a – bi.)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có (mathbbsubset mathbb.)
Số phức (bi)((binmathbb)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số (i) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng (z = a + bi(a,binmathbb)) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
(left| right| = left| z right|).
(z = overline z Leftrightarrow z) là số thực.
(z = – overline z Leftrightarrow z) là số ảo.