I. Dạng vô định 0/0
Bài toán:
Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = 0), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức hoặc căn thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.
– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
– Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường.
Nếu (fleft( x right)) và (gleft( x right)) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước.
Đặc biệt:
$mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{sin x}}{x} = 1$
Ví dụ: $mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{x – 2}}{{{x^2} – 3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{x – 2}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)}} = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{1}{{x – 1}} = dfrac{1}{{2 – 1}} = 1$
II. Dạng vô định vô cùng / vô cùng
Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to pm infty } dfrac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}}) khi (mathop {lim }limits_{x to pm infty } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to pm infty } gleft( x right) = pm infty ), trong đó (fleft( x right),gleft( x right)) là các đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
– Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của (x).
– Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả.
Ví dụ: (mathop {lim }limits_{x to – infty } dfrac{{sqrt {{x^2} – 1} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to – infty } dfrac{{sqrt {{x^2}left( {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} right)} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to – infty } dfrac{{left| x right|sqrt {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} ) (= mathop {lim }limits_{x to – infty } dfrac{{ – xsqrt {1 – dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} = – dfrac{1}{2})
Cần xét xem (x to + infty ,x to – infty ) khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai.
III. Dạng vô định 0.vô cùng
Bài toán: Tính giới hạn $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]$ khi $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = 0$ và $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = pm infty $.
Phương pháp:
– Bước 1: Biến đổi $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{fleft( x right)}}{{dfrac{1}{{gleft( x right)}}}}$ để đưa về dạng (dfrac{0}{0}) hoặc $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right] = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} dfrac{{gleft( x right)}}{{dfrac{1}{{fleft( x right)}}}}$ để đưa về dạng (dfrac{infty }{infty }).
– Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn.
IV. Dạng vô định vô cùng – vô cùng
Bài toán: Tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) – gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = + infty ) hoặc tính (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right) + gleft( x right)} right]) khi (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = + infty ,mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = – infty ).
Phương pháp:
– Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức.
– Bước 2: Thực hiện tính giới hạn dựa theo các dạng đã biết.