Bài tập tìm m để hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang có đáp án
Một số câu trắc nghiệm tìm điều kiện của m để hàm số có tiệm cận
| Bài tập 1: [Đề thi minh họa Bộ GD{}ĐT năm 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số: $y=frac{x+1}{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}$ có 2 tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. B. $m<0$ C. $m=0$ D. $m>0$ |
Lời giải chi tiết
Với $m>0$ ta có: $underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{x+1}{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{1+frac{1}{x}}{sqrt{m+frac{1}{{{x}^{2}}}}}=frac{1}{sqrt{m}}Rightarrow y=frac{1}{sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.
$underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{x+1}{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{-1-frac{1}{x}}{frac{sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{-x}}=frac{-1-frac{1}{x}}{sqrt{m+frac{1}{{{x}^{2}}}}}=frac{-1}{sqrt{m}}Rightarrow y=frac{-1}{sqrt{m}}$ là một tiệm cận ngang.
Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Với $m=0$ suy ra $y=frac{x+1}{1}$ đồ thị hàm số không có hai tiệm cận ngang.
Với $m<0$ đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận ngang vì không tồn tại $underset{xto infty }{mathop{lim }},y$ . Chọn D.
| Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số $y=frac{2x-1}{4{{x}^{2}}+4mx+1}$ có đúng một đường tiệm cận là
A. $left[ -1;1 right]$ B. $left( -infty ;-1 right)cup left( 1;+infty right).$ C. $left( -infty ;-1 right]cup left[ 1;+infty right).$ D. $left( -1;1 right)$ |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cậ ngang $y=0$.
Để đồ thị hàm số có một tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Khi đó phương trình $4{{x}^{2}}+4mx+1=0$ vô nghiệm.
$Leftrightarrow {Delta }'<0Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m<0Leftrightarrow -1<m<1Leftrightarrow min left( -1;1 right)$. Chọn D.
| Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=frac{2{{x}^{2}}-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận đứng.
A. $m>1$. B. $mne 0.$ C. $m=1.$ D. $m=1$ và $m=0$. |
Lời giải chi tiết
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng $x=m$ thì là nghiệm của $pleft( x right)=2{{x}^{2}}-3x+m$
$Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m+m=0Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2m=0Leftrightarrow 2mleft( m-1 right)=0Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=1 \ end{array} right..$ Chọn D.
| Bài tập 4: Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số $y=frac{x-1}{{{x}^{2}}-mx+m}$ có đúng một tiệm cận đứng.
A. $m=0.$ B. $mle 0.$ C. $min left{ 0;4 right}$ D. $mge 4.$ |
Lời giải chi tiết
Xét phương trình $gleft( x right)={{x}^{2}}-mx+m=0$
Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận $Leftrightarrow gleft( x right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 1 hoặc $gleft( x right)=0$ có nghiệm kép khác 1 $Leftrightarrow left[ begin{array} {} left{ begin{array} {} Delta ={{m}^{2}}-4m>0 \ {} gleft( 1 right)=0 \ end{array} right. \ {} left{ begin{array} {} Delta ={{m}^{2}}-4m=0 \ {} gleft( 1 right)ne 0 \ end{array} right. \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=4 \ {} m=0 \ end{array} right.$ . Chọn C.
| Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x+m}$ có hai tiệm cận đứng.
A. $left{ begin{array}{} mne 1 \{} mne -8 \end{array} right..$ B. $left{ begin{array}{} m>-1 \{} mne 8 \end{array} right..$ C. $left{ begin{array}{} m=1 \{} m=-8 \end{array} right.$ D. $left{ begin{array}{} m<1 \{} mne -8 \end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y=frac{{{x}^{2}}+x-2}{{{x}^{2}}-2x+m}=frac{left( x-1 right)left( x+2 right)}{{{x}^{2}}-2x+m}$
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi PT $fleft( x right)={{x}^{2}}-2x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $left{ begin{array} {} xne 1 \ {} xne -2 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {Delta }’>0 \ {} fleft( 1 right)ne 0 \ {} fleft( -2 right)ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1-m>0 \ {} m-1ne 0 \ {} m+8ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m<1 \ {} mne -8 \ end{array} right.$ . Chọn D.
| Bài tập 6: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{x}-m}{x-1}$ có đúng hai đường tiệm cận.
A. $left( -infty ;+infty right)backslash left{ 1 right}$. B. $left( -infty ;+infty right)backslash left{ -1;0 right}$ C. $left( -infty ;+infty right)$ D. $left( -infty ;+infty right)backslash left{ 0 right}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $D=left( 0;+infty right)$
Khi đó $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{x}-m}{x-1}=0$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=0$ .
Chú ý: Với $m=1Rightarrow y=frac{sqrt{x}-1}{x-1}=frac{frac{x-1}{sqrt{x}+1}}{x-1}=frac{1}{sqrt{x+1}}$ khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Với $mne 1$ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Do đó để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì $mne 1$. Chọn A.
| Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y=frac{mx+2}{x-1}$ có tiệm cận đứng.
A. $mne 2$ B. $m<2$ C. $mle -2$ D. $mne -2$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị hàm số có TCĐ $Leftrightarrow gleft( x right)=mx+2=0$ không có nghiệm $x=1Leftrightarrow gleft( 1 right)ne 0Leftrightarrow mne -2.$ . Chọn D.
| Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số $y=frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}-3x+2}$ có đúng một tiệm cận đứng.
A. $min left{ -1;-4 right}.$ B. $m=-1$ C. $m=4.$ D. $min left{ 1;4 right}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $y=frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}-3x+2}=frac{{{x}^{2}}+m}{left( x-1 right)left( x-2 right)}$ , đặt $fleft( x right)={{x}^{2}}+m$ .
Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi $left[ begin{array} {} fleft( 1 right)=0 \ {} fleft( 2 right)=0 \ end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array} {} m+1=0 \ {} m+4=0 \ end{array} right.$
$Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=-1 \ {} m=-4 \ end{array} right.Leftrightarrow min left{ -1;-4 right}$ . Chọn A.
| Bài tập 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=frac{x-4}{sqrt{{{x}^{2}}+m}}$ có 3 tiệm cận
A. $left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=-16 \ end{array} right.$ B. $left[ begin{array} {} m=-16 \ {} m=0 \ {} m=4 \ end{array} right.$ C. $left[ begin{array} {} m=-16 \ {} m=-8 \ end{array} right.$ D. $left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=16 \ end{array} right.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{1-frac{4}{x}}{sqrt{1+frac{m}{{{x}^{2}}}}}=1;,,underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{1-frac{4}{x}}{-sqrt{1+frac{m}{{{x}^{2}}}}}=-1$ nên đồ thị hàm số luôn có 2 tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó có 1 tiệm cận đứng $Leftrightarrow gleft( x right)={{x}^{2}}+m$ có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm $x=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} m=0 \ {} m=-16 \ end{array} right.$. Chọn A.
| Bài tập 10: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=frac{sqrt{left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}$ có đúng một tiệm cận ngang.
A. $m1.$ B. $m>0.$ C. $m=pm 1.$ D. Với mọi giá trị m |
Lời giải chi tiết
Ta có $left{ begin{array} {} underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}=underset{xto +infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{{{m}^{2}}-1+frac{1}{x}+frac{2}{{{x}^{2}}}}}{1+frac{1}{x}}=sqrt{{{m}^{2}}-1} \ {} underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=underset{xto -infty }{mathop{lim }},frac{sqrt{left( {{m}^{2}}-1 right){{x}^{2}}+x+2}}{x+1}=underset{xto -infty }{mathop{lim }},-frac{sqrt{{{m}^{2}}-1+frac{1}{x}+frac{2}{{{x}^{2}}}}}{1+frac{1}{x}}=-sqrt{{{m}^{2}}-1} \ end{array} right.$ . (Với $left( {{m}^{2}}-1 right)ge 0$)
Đồ thị hàm số có một TCN khi và chỉ khi $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=underset{xto -infty }{mathop{lim }},yLeftrightarrow sqrt{{{m}^{2}}-1}=-sqrt{{{m}^{2}}-1}Leftrightarrow m=pm 1$.
Chọn C.
| Bài tập 11: Cho hàm số $y=frac{sqrt{left( m+2 right){{x}^{2}}-3x-3m}-left| x right|}{x-2}$ có đồ thị (C). Đồ thị (C) có 3 đường tiệm cận khi tham số thực m thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. $left( -2;2 right)cup left( 2;+infty right)$ B. $left( -2;2 right)$ C. $left( 2;+infty right)$ D. $left( -3;-1 right)$ |
Lời giải chi tiết
Với $m-2$ đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang do $underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=sqrt{m+2}-1;underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=1sqrt{m+2}+1;$
Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có thêm 1 tiệm cận đứng.
Khi đó tử số không có nghiệm $x=2$ và $fleft( x right)=left( m+2 right){{x}^{2}}-3x-3m$ xác định tại $x=2$.
Khi đó $left{ begin{array} {} fleft( 2 right)=4left( m+2 right)-6-3mge 0 \ {} sqrt{fleft( 2 right)}-2ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} m+2ge 0 \ {} sqrt{m+2}-2ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} mge -2 \ {} mne 2 \ end{array} right.$
Do đó $m>-2;,,mne 2$ là giá trị cần tìm. Chọn A.
| Bài tập 12: Tập hợp các giá trị thức của m để đồ thị hàm số $y=frac{2x-1}{left( m{{x}^{2}}-2x+1 right)left( 4{{x}^{2}}+4mx+1 right)}$ có đúng một đường tiệm cận là
A. $left{ 0 right}$ B. $left( -infty ;-1 right)cup left{ 0 right}cup left( 1;+infty right)$ C. $left( -infty ;-1 right)cup left( 1;+infty right)$ D. $varnothing $ |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang $y=0$.
Suy ra để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH1: Phương trình: $left( m{{x}^{2}}-2x+1 right)left( 4{{x}^{2}}+4mx+1 right)=0$ vô nghiệm
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} 1-m<0 \ {} 4{{m}^{2}}-41 \ {} -1<m<1 \ end{array} right.Rightarrow min varnothing $
TH2: Phương trình $4{{x}^{2}}+4mx+1=0$ vô nghiệm, phương trình: $m{{x}^{2}}-2x+1=0,,,left( * right)$ có đúng 1 nghiệm đơn $x=frac{1}{2}Leftrightarrow left{ begin{array} {} 4{{m}^{2}}-4<0 \ {} m=0Rightarrow left( * right)Leftrightarrow 2x-1=0Leftrightarrow x=frac{1}{2} \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} -1<m<1 \ {} m<0 \ end{array} right.Rightarrow m=0$ .
Kết hợp 2 trường hợp suy ra $m=0$ . Chọn A.
| Bài tập 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=frac{{{left( x-m right)}^{2}}left( 2text{x}-m right)}{sqrt{4text{x}-{{x}^{2}}}-2}$ có tiệm cận đứng.
A. $mne 4.$ B. $min mathbb{R}$ C. $mne 2$ D. $mne left{ 2;4 right}$ |
Lời giải chi tiết
Hàm số có tập xác định $D=left[ 0;4 right]backslash left{ 2 right}$ .
Ta có: $y=frac{{{left( x-m right)}^{2}}left( 2text{x}-m right)}{sqrt{4text{x}-{{x}^{2}}}-2}=-frac{{{left( x-m right)}^{2}}left( 2text{x}-m right)left( sqrt{4text{x}-{{x}^{2}}}+2 right)}{{{left( x-2 right)}^{2}}}$
Với $m=2Rightarrow y=-left( 2text{x}-2 right)left( sqrt{4text{x}-{{x}^{2}}}+2 right)Rightarrow $ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Với $m=4Rightarrow y=-frac{2{{left( x-4 right)}^{2}}left( sqrt{4text{x}-{{x}^{2}}}+2 right)}{x-2}Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng .
Với $mne left{ 2;4 right}$ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ .
Suy ra để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì $mne 2$. Chọn C.
| Bài tập 14: Tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=frac{2017+sqrt{x+1}}{sqrt{{{x}^{2}}-mx-3m}}$ có hai đường tiệm cận đứng là:
A. $left[ frac{1}{4};frac{1}{2} right]$ B. $left( 0;frac{1}{2} right].$ C. $left( 0;+infty right)$ D. $left( -infty ;-12 right)cup left( 0;+infty right)$ |
Lời giải chi tiết
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $Leftrightarrow {{x}^{2}}-mtext{x}-3m=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}ge -1$ .
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta >0 \ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}ge -2 \ {} left( {{x}_{1}}+1 right)left( {{x}_{2}}+1 right)ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} Delta ={{left( -m right)}^{2}}-4left( -3m right)>0 \ {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}ge -2 \ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1ge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} {{m}^{2}}+12m>0 \ {} mge -2 \ {} 1-2mge 0 \ end{array} right.Leftrightarrow min left( 0;frac{1}{2} right]$. Chọn B.
| Bài tập 15: Cho hàm số $y=sqrt{m{{text{x}}^{2}}+2text{x}}-x$ . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
A. $m=1.$ B. $min left{ -2;2 right}$ C. $min left{ -1;1 right}$ D. $m>0$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=frac{m{{text{x}}^{2}}-{{x}^{2}}+2text{x}}{sqrt{m{{text{x}}^{2}}+2text{x}}+x}=frac{left( m-1 right){{x}^{2}}+2text{x}}{sqrt{m{{text{x}}^{2}}+2text{x}}+x}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại
$Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>0 \ {} m-1=0 \ end{array} right.Leftrightarrow m=1.$ Chọn A.
| Bài tập 16: Điều kiện cần và đủ của tham số thực m để đồ thị hàm số $y=frac{x-1}{2x+sqrt{m{{x}^{2}}+4}}$ có đúng 1 tiệm cận ngang là
A. $m=4$ B. $0le mle 4$ C. $m=0.$ D. $m=0$ hoặc $m=4$. |
Lời giải chi tiết
+) Với $m=0$, ta có $y=frac{x-1}{2x+2}Rightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},y=frac{1}{2}Rightarrow y=frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
+) Với $m0$ , ta có $y=frac{x-1}{2text{x}+sqrt{m{{text{x}}^{2}}+4}}=frac{xleft( 1-frac{1}{x} right)}{2text{x}+left| x right|sqrt{m+frac{4}{{{x}^{2}}}}}Rightarrow left[ begin{array} {} underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=frac{1}{2+sqrt{m}} \ {} underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=frac{1}{2-sqrt{m}} \ end{array} right.$
Để hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang thì $underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=frac{1}{2-sqrt{m}}=infty $
Cho $2-sqrt{m}=0Leftrightarrow m=4Rightarrow underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=infty $. Vậy $m=0$ hoặc $m=4$ là giá trị cần tìm. Chọn D.
| Bài tập 17: Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y=2x+sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}+1$ có tiệm cận ngang.
A. $m=4$ B. $m=-4$ C. $m=2$ D. $m=0$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $y=left( 2x+1 right)+sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}=frac{4{{x}^{2}}+4x+1-left( m{{x}^{2}}-x+1 right)}{2x+1-sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}}=frac{left( 4-m right){{x}^{2}}+5x}{2x+1-sqrt{m{{x}^{2}}-x+1}}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số và $underset{xto infty }{mathop{lim }},y={{y}_{0}}Leftrightarrow left{ begin{array} {} m>0 \ {} 4-m=0 \ end{array} right.Leftrightarrow m=4$ . Chọn A.
| Bài tập 18: Biết đồ thị $y=frac{left( a-2b right){{x}^{2}}+bx+1}{{{x}^{2}}+x-b}$ có đường tiệm cận đứng là $x=1$ và đường tiệm cận ngang là $y=0$. Tính $a+2b$ .
A. 6. B. 7. C. 8. D. 10. |
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1Rightarrow PT:{{x}^{2}}+x-b=0$ có nghiệm $x=1$ và $left( a-2b right){{x}^{2}}+bx+1=0$ không có nghiệm $x=1Rightarrow left{ begin{array} {} 1+1-b=0 \ {} a-2b+b+1ne 0 \ end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array} {} b=2 \ {} ane 1 \ end{array} right.$ . Hàm số có dạng $y=frac{left( a-4 right){{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x-2}$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=0Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},y=0Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{left( a-4 right){{x}^{2}}+2x+1}{{{x}^{2}}+x-2}=0$
$Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{left( a-4 right)+frac{2}{x}+frac{1}{{{x}^{2}}}}{1+frac{1}{x}-frac{2}{{{x}^{2}}}}=underset{xto infty }{mathop{lim }},frac{a-4}{1}=0Leftrightarrow a-4=0Rightarrow a=4Rightarrow a+2b=8$. Chọn C.
| Bài tập 19: Biết đồ thị $y=frac{left( a-3b right){{x}^{2}}+bx-1}{{{x}^{2}}+ax-a}$ có đường tiệm cận đứng là $x=2$ và đường tiệm cận ngang là $y=1$ . Tính $a+b$ .
A. 5. B. 3. C. D. |
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2Rightarrow $ PT: ${{x}^{2}}+ax-a=0$ có nghiệm $x=2$
$Rightarrow 4+2a-a=0Rightarrow a=-4$
Hàm số có tiệm cận ngang $y=-1Leftrightarrow underset{xto infty }{mathop{lim }},y=-1Leftrightarrow frac{a-3b}{1}=-1Leftrightarrow a-3b=-1Leftrightarrow b=frac{a+1}{3}=-1$
Khi đó $y=frac{-{{x}^{2}}-x-1}{{{x}^{2}}-4x+4}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=-1$
Vậy $a+b=-5$. Chọn C.
| Bài tập 20: Cho hàm số $y=frac{x+2}{x-2}$ , có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng PQ là:
A. $4sqrt{2}$ B. $5sqrt{2}$ C. 4 D. $2sqrt{2}$ |
Lời giải
Đồ thị hàm số $y=frac{x+2}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ , tiệm cận ngang $y=1$ .
Gọi $Pleft( {{x}_{0}};frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2} right)in left( C right)$ khi đó tổng khoảng cách từ P đến hai đường tiệm cận là:
$d=dleft( P,x=2 right)+dleft( P,y=1 right)=left| {{x}_{0}}-2 right|+left| frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}-1 right|=left| {{x}_{0}}-2 right|+left| frac{4}{{{x}_{0}}-2} right|$.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi $left( AM-GM right)$ ta có: $dge 2sqrt{left| {{x}_{0}}-2 right|.left| frac{4}{{{x}_{0}}-2} right|}=4$.
Dấu bằng xảy ra khi $left| {{x}_{0}}-2 right|=frac{4}{left| {{x}_{0}}-2 right|}Leftrightarrow {{left( {{x}_{0}}-2 right)}^{2}}=4Leftrightarrow left[ begin{array} {} {{x}_{0}}=4Rightarrow y=3 \ {} {{x}_{0}}=0Rightarrow y=-1 \ end{array} right.$
Khi đó $Pleft( 4;3 right),,,Qleft( 0;-1 right)Rightarrow PQ=4sqrt{2}$. Chọn A.