Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:
(2x + m = dfrac{{x + 3}}{{x + 1}},,left( {x ne – 1} right) Leftrightarrow 2{x^2} + left( {m + 1} right)x + m – 3 = 0;;;left( * right))
Ta có: (Delta = {left( {m + 1} right)^2} – 8left( {m – 3} right) = {m^2} – 6m + 25 = {left( {m – 3} right)^2} + 16 > 0;;forall m)
( Rightarrow left( * right)) luôn có hai nghiệm phân biệt ({x_1},;{x_2}) với mọi (m.)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:(left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – dfrac{{m + 1}}{2}\{x_1}{x_2} = dfrac{{m – 3}}{2}end{array} right..)
Gọi (Mleft( {{x_1};;2{x_1} + m} right),;Nleft( {{x_2};;2{x_2} + m} right)) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.
Khi đó ta có:
(begin{array}{l}M{N^2} = {left( {{x_2} – {x_1}} right)^2} + {left( {2{x_2} – 2{x_1}} right)^2} = 5{left( {{x_2} – {x_1}} right)^2}\ = 5left[ {{{left( {{x_1} + {x_2}} right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} right] = 5left[ {dfrac{{{{left( {m + 1} right)}^2}}}{4} – 4.dfrac{{m – 3}}{2}} right]\ = dfrac{5}{4}left( {{m^2} + 2m + 1 – 8m + 24} right) = dfrac{5}{4}left( {{m^2} – 6m + 25} right)\ = dfrac{5}{4}{left( {m – 3} right)^2} + 20 ge 20;;forall m.end{array})
Dấu “=” xảy ra ( Leftrightarrow m – 3 = 0 Leftrightarrow m = 3.)
Chọn A.