Câu hỏi:
Cho (a;b) là các số thực thỏa mãn (a > 0) và (a ne 1) biết phương trình ({a^x} – frac{1}{{{a^x}}} = 2cos left( {bx} right)) có 7 nghiệm thực phân biệt. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình ({a^{2x}} – 2{a^x}left( {{mathop{rm cosbx}nolimits} + 2} right) + 1 = 0)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
(begin{array}{l}{a^{2x}} – 2{a^x}left( {{mathop{cos bx}nolimits} + 2} right) + 1 = 0 Leftrightarrow {a^x} + frac{1}{{{a^x}}} = 2left( {cos bx + 2} right)\ Leftrightarrow {left( {{a^{frac{x}{2}}}} right)^2} + frac{1}{{{{left( {{a^{frac{x}{2}}}} right)}^2}}} – 2 = 2left( {cos bx + 1} right) Leftrightarrow {left( {{a^{frac{x}{2}}} – frac{1}{{{a^{frac{x}{2}}}}}} right)^2} = 2.2{cos ^2}frac{{bx}}{2}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{a^{frac{x}{2}}} – frac{1}{{{a^{frac{x}{2}}}}} = 2cos frac{{bx}}{2}\{a^{frac{x}{2}}} – frac{1}{{{a^{frac{x}{2}}}}} = – 2cos frac{{bx}}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{a^{frac{x}{2}}} – frac{1}{{{a^{frac{x}{2}}}}} = 2cos frac{{bx}}{2},,,left( 1 right)\{a^{ – frac{x}{2}}} – frac{1}{{{a^{ – frac{x}{2}}}}} = 2cos left( {frac{{bleft( { – x} right)}}{2}} right),,left( 2 right)end{array} right.end{array})
Theo bài ra ta có phương trình (1) có 7 nghiệm phân biệt.
Ta thấy nếu ({x_0}) là nghiệm của (1) ( Rightarrow left( 2 right)) có nghiệm ( – {x_0}).
Xét (fleft( 0 right) = 1 – 2.1left( {1 + 2} right) + 1 = – 4 ne 0 Rightarrow x = 0) không là nghiệm của (1) ( Rightarrow {x_0} ne 0 Rightarrow – {x_0} ne {x_0},,forall {x_0}).
Vậy phương trình đề bài có tất cả 14 nghiệm.
Chọn A.
ADSENSE