Gọi A là biến cố ‘Bình làm đúng k câu’, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính (k).

Do mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng nên xác suất để trả lời đúng 1 câu là (dfrac{1}{4}) và xác suất để trả lời sai 1 câu là (dfrac{3}{4}).

Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, xác suất của biến cố (A) là (Pleft( A right) = C_{25}^k{left( {dfrac{1}{4}} right)^k}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{25 – k}}).

Xét khai triển (1 = {left( {dfrac{1}{4} + dfrac{3}{4}} right)^{25}} = sumlimits_{k = 0}^{25} {C_{25}^k{{left( {dfrac{1}{4}} right)}^k}{{left( {dfrac{3}{4}} right)}^{25 – k}}} )

Giả sử ({A_k} = C_{25}^k{left( {dfrac{1}{4}} right)^k}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{25 – k}}) là số hạng lớn nhất trong khai triển trên ta có:

(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{A_k} > {A_{k – 1}}\{A_k} > {A_{k + 1}}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}C_{25}^k{left( {dfrac{1}{4}} right)^k}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{25 – k}} > C_{25}^{k – 1}{left( {dfrac{1}{4}} right)^{k – 1}}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{26 – k}}\C_{25}^k{left( {dfrac{1}{4}} right)^k}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{25 – k}} > C_{25}^{k + 1}{left( {dfrac{1}{4}} right)^{k + 1}}{left( {dfrac{3}{4}} right)^{24 – k}}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{{25!}}{{k!left( {25 – k} right)!}}dfrac{1}{4} > dfrac{{25!}}{{left( {k – 1} right)!left( {26 – k} right)!}}dfrac{3}{4}\dfrac{{25!}}{{k!left( {25 – k} right)!}}dfrac{3}{4} > dfrac{{25!}}{{left( {k + 1} right)!left( {24 – k} right)!}}dfrac{1}{4}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{1}{k} > dfrac{3}{{26 – k}}\dfrac{3}{{25 – k}} > dfrac{1}{{k + 1}}end{array} right.\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}dfrac{{26 – k – 3k}}{{kleft( {26 – k} right)}} > 0\dfrac{{3k + 3 – 25 + k}}{{left( {25 – k} right)left( {k + 1} right)}} > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}k < dfrac{{26}}{4}\k > dfrac{{22}}{4}end{array} right. Leftrightarrow dfrac{{22}}{4} < k < dfrac{{26}}{4},,,k in mathbb{Z} Rightarrow k = 6end{array})

Chọn D.