Trong tất cả các hình thang cân có cạnh bên bằng (2) và cạnh đáy nhỏ bằng (4) , tính chu vi (P) của hình thang có diện tích lớn nhất.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến CD ta có: ({S_{ABCD}} = frac{{left( {AB + CD} right).AH}}{2}) 

Đặt (AH = x;;left( {0 < x < 2} right).)

Khi đó áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: (DH = sqrt {A{D^2} – A{H^2}}  = sqrt {4 – {x^2}} .)

Ta có: (DH = CK = sqrt {4 – {x^2}}  Rightarrow CD = 2sqrt {4 – {x^2}}  + 4.)

( Rightarrow {S_{ABCD}} = frac{{left( {AB + CD} right).AH}}{2} = frac{{left( {4 + 2sqrt {4 – {x^2}}  + 4} right).x}}{2} = frac{{left( {8 + 2sqrt {4 – {x^2}} } right)x}}{2}.)

Xét hàm số (fleft( x right) = left( {8 + 2sqrt {4 – {x^2}} } right)x = 8x + 2xsqrt {4 – {x^2}} ;;left( {0 < x < 2} right))

Ta có: (f’left( x right) = 8 + 2sqrt {4 – {x^2}}  – frac{{4{x^2}}}{{2sqrt {4 – {x^2}} }} = 8 + frac{{2left( {4 – {x^2}} right) – 2{x^2}}}{{sqrt {4 – {x^2}} }} = 8 + frac{{4left( {2 – {x^2}} right)}}{{sqrt {4 – {x^2}} }}.)

(begin{array}{l} Rightarrow f’left( x right) = 0 Leftrightarrow 8 + frac{{4left( {2 – {x^2}} right)}}{{sqrt {4 – {x^2}} }} = 0 Leftrightarrow 8sqrt {4 – {x^2}}  + 4left( {2 – {x^2}} right) = 0\ Leftrightarrow 2sqrt {4 – {x^2}}  = {x^2} – 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} – 2 ge 0\4left( {4 – {x^2}} right) = {x^4} – 4{x^2} + 4end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} ge 2\{x^4} = 12end{array} right. Leftrightarrow {x^2} = 2sqrt 3 ,,left( {tm} right)\ Rightarrow {S_{,Max}} Leftrightarrow {x^2} = 2sqrt 3  Rightarrow CD = 2sqrt {4 – 2sqrt 3 }  + 4 = 2left( {sqrt 3  – 1} right) + 4 = 2sqrt 3  + 2end{array})

Khi đó chu vi của hình thang là:

(P = AB + 2AD + CD = 4 + 2.2 + 2sqrt 3  + 2 = 10 + 2sqrt 3 .) 

Chọn C.