Có bao nhiêu số nguyên dương(y)sao cho ứng với mỗi(y)thì bất phương trình (({log _3}x + x – 12)({log _3}x – y) < 0) có nghiệm nguyên (x) và đồng thời có không quá 100 số nguyên (x)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương(y)sao cho ứng với mỗi(y)thì bất phương trình (({log _3}x + x – 12)({log _3}x – y) < 0) có nghiệm nguyên (x) và đồng thời có không quá 100 số nguyên (x)?
A. (1).
B. (2).
C. (4).
D. (3).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
(({log _3}x + x – 12)({log _3}x – y) < 0,,,(*))
Điều kiện: (x > 0)
Đặt (f(x) = {log _3}x + x – 12)
Hàm số (f(x)) liên tục trên ((0,;, + infty ))và (f(9).f(10) = – 1.({log _3}10 – 2) < 0)nên phương trình (f(x) = 0) có nghiệm ({x_0} in (9,;,10))
Mặt khác: (f(x) = 0 Leftrightarrow {log _3}x = 12 – x), trong đó hàm số (y = {log _3}x) đồng biến trên ((0,;, + infty )) và hàm số (y = 12 – x) nghịch biến trên ((0,;, + infty ))
Từvàsuy ra phương trình (f(x) = 0) có nghiệm duy nhất ({{rm{x}}_0} in (9,;,10)).
| (x) | (0) ({x_0})( + infty ) |
| (f(x) = {log _3}x + x – 12) | – 0 + |
Nếu (x < {x_0}): ((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{log _3}x + x – 12 < 0\{log _3}x – y > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}1 le x le 9\x > {3^y}end{array} right.)
Suy ra (1 le {3^y} < x le 9 Rightarrow 0 le y < 2 Rightarrow y = 1)
Nếu (x > {x_0}): ((*) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{log _3}x + x – 12 > 0\{log _3}x – y < 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge 10\x < {3^y}end{array} right.)
Vì tồn tại không quá 100 giá trị nguyên của (x) nên ta có: (10 le x le 109)
Do đó (10 < {3^y} le 110 Leftrightarrow {log _3}10 < y le {log _3}110 Rightarrow y in left{ {3;4} right})
Vậy (y in left{ {1;3;4} right})nên có 3 giá trị của (y)thỏa yêu cầu bài toán.