Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có nhiều nhất (9) số nguyên (x) thỏa mãn ({9.3^{2x}} – left( {9y + sqrt 3 } right){3^x} + sqrt 3 y < 0)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có nhiều nhất (9) số nguyên (x) thỏa mãn ({9.3^{2x}} – left( {9y + sqrt 3 } right){3^x} + sqrt 3 y < 0)?
A. (6581).
B. (3541).
C. (6562).
D. (6561).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có ({9.3^{2x}} – left( {9y + sqrt 3 } right){3^x} + sqrt 3 y < 0).
Đặt ({3^x} = t > 0).
Khi đó, bất phương trìnhtrở thành (9{t^2} – left( {9y + sqrt 3 } right)t + sqrt 3 y < 0).
Xét phương trình (9{t^2} – left( {9y + sqrt 3 } right)t + sqrt 3 y = 0) có hai nghiệm ({t_1} = y), (,{t_2} = frac{{sqrt 3 }}{9}).
Do (y in {mathbb{N}^*}) nên bất phương trìnhcó nghiệm là (frac{{sqrt 3 }}{9} < t < y).
Từ đó suy ra (frac{{sqrt 3 }}{9} < {3^x} < y) ( Leftrightarrow – frac{3}{2} < x < {log _3}y).
Ứng với mỗi số nguyên dương (y) có nhiều nhất (9) số nguyên (x) thỏa mãn (x in left( { – frac{3}{2},;,{{log }_3}y} right))
( Leftrightarrow )(0 le {log _3}y le 8)( Leftrightarrow 1 le y le 6561).
Vậy có (6561) số nguyên dương (y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.